Ελλειπτικό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ελλειπτικό εμβαδόν.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Στο άκρο

του μεγάλου άξονα της έλλειψης , φέραμε κάθετη . Η εφαπτομένη

σε σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου , τέμνει την κάθετη στο σημείο

και

τον άξονα x'x

, στο

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου PBT

.

KARKAR · #2

Επαναφορά

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 26, 2022 6:14 pm
Ελλειπτικό εμβαδόν.pngΣτο άκρο του μεγάλου άξονα της έλλειψης , φέραμε κάθετη . Η εφαπτομένη

σε σημείο του πρώτου τεταρτημορίου , τέμνει την κάθετη στο σημείο και

τον άξονα , στο . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω

το σημείο επαφής οπότε η

έχει εξίσωση $\dfrac{x_0}{a^2}x+\dfrac{y_0}{b^2}y=1$

Είναι $x_T=\dfrac{a^2}{x_0},\,\,\,y_P=\left ( 1+\dfrac{x_0}{a} \right )\dfrac{b^2}{y_0}$

και $\dfrac{b^2}{y_0}=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2-x_0^2}}$ .

Έχουμε $E(x_0)=\dfrac{1}{2}(BP)(BT))=\dfrac{1}{2}\left ( 1+\dfrac{x_0}{a} \right )\dfrac{b^2}{y_0}\left ( a+ \dfrac{a^2}{x_0} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( 1+\dfrac{x_0}{a} \right )\dfrac{ab}{\sqrt{a^2-x_0^2}}\left ( a+ \dfrac{a^2}{x_0} \right )$

$=...=\dfrac{ab(a+x_0)^2}{2x_0\sqrt{a^2-x_0^2}}$ .

Παραγωγίζουμε ως προς x_0:

$E'(x_0)=\dfrac{a^2b(2x_0-a)(x_0+a)}{2x_0^2(x_0-a)\sqrt{a^2-x_0^2}}$

Έχουμε ελάχιστο για x_0=a/2

το $\dfrac{9ab}{2\sqrt{3}}$

#4

Παραλλαγή: Το σημείο είναι το $S(a\sin \theta,\, b\cos \theta )$ όπου $0<\theta < \pi /2$ . Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι $bx\cos \theta + ay \sin \theta =1$ , οπότε $P\left (-a, \dfrac {b(1+ \cos \theta )} {\sin \theta } \right )$ και $T\left (\dfrac {a} {\cos \theta } ,\, 0 \right )$ . Άρα το εμβαδόν είναι

$\dfrac {ab(1+ \cos \theta) } {2\sin \theta \cos \theta }$

Με παραγώγιση βρίσκεται το ελάχιστο το οποίο ανάγεται στην επίλυση της $\cos ^ 2 \theta + \cos \theta -1=0$ . Όλα άμεσα (δεν έκανα έλεγχο των πράξεων).

#5

Αφού έγραφα για ώρα, κατόπιν είδα ότι είχε ήδη αναρτήσει την ίδια λύση ο Μιχάλης. Το αφήνω για το σχήμα.

: 15-06-2022 Γεωμετρία.png (31.58 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

Έστω $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ η έλλειψη και $\displaystyle S\left( {a\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;b\eta \mu \varphi } \right)$ σημείο της στο οποίο φέραμε την εφαπτομένη με εξίσωση $\displaystyle \frac{{x\sigma \upsilon \nu \varphi }}{a} + \frac{{y\eta \mu \varphi }}{b} = 1$ .

Τότε $\displaystyle {\rm T}\left( {\frac{a}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},0} \right)$ και $\displaystyle P\left( { - a,\;\frac{{1 + \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }} \cdot b} \right)$ , οπότε $\displaystyle \left( {PBT} \right) = \frac{{{\rm B}{\rm T} \cdot {\rm B}P}}{2} = ab\frac{{{{\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)}^2}}}{{\eta \mu 2\varphi }}$ .

Το λογισμικό δίνει ελάχιστο $\displaystyle \frac{{3\sqrt 3 ab}}{2}$ , για $\displaystyle \varphi = \frac{\pi }{3}$ , δηλαδή όσο βρήκε ο Κώστας παραπάνω.

Ελλειπτικό εμβαδόν

Ελλειπτικό εμβαδόν

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση