Ελλειπτικό εμβαδόν

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13518
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελλειπτικό εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 26, 2022 6:14 pm

Ελλειπτικό  εμβαδόν.png
Ελλειπτικό εμβαδόν.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές
Στο άκρο B του μεγάλου άξονα της έλλειψης , φέραμε κάθετη . Η εφαπτομένη

σε σημείο S του πρώτου τεταρτημορίου , τέμνει την κάθετη στο σημείο P και

τον άξονα x'x , στο T . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου PBT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13518
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 11, 2022 6:49 pm

Επαναφορά


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1974
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 12, 2022 1:22 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 26, 2022 6:14 pm
Ελλειπτικό εμβαδόν.pngΣτο άκρο B του μεγάλου άξονα της έλλειψης , φέραμε κάθετη . Η εφαπτομένη

σε σημείο S του πρώτου τεταρτημορίου , τέμνει την κάθετη στο σημείο P και

τον άξονα x'x , στο T . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου PBT .
Έστω (x_0,y_0) το σημείο επαφής οπότε η TP έχει εξίσωση \dfrac{x_0}{a^2}x+\dfrac{y_0}{b^2}y=1

Είναι x_T=\dfrac{a^2}{x_0},\,\,\,y_P=\left ( 1+\dfrac{x_0}{a} \right )\dfrac{b^2}{y_0}

και \dfrac{b^2}{y_0}=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2-x_0^2}}.

Έχουμε E(x_0)=\dfrac{1}{2}(BP)(BT))=\dfrac{1}{2}\left ( 1+\dfrac{x_0}{a} \right )\dfrac{b^2}{y_0}\left (  a+ \dfrac{a^2}{x_0}  \right )=\dfrac{1}{2}\left ( 1+\dfrac{x_0}{a} \right )\dfrac{ab}{\sqrt{a^2-x_0^2}}\left (  a+ \dfrac{a^2}{x_0}  \right )

=...=\dfrac{ab(a+x_0)^2}{2x_0\sqrt{a^2-x_0^2}}.

Παραγωγίζουμε ως προς x_0:

E'(x_0)=\dfrac{a^2b(2x_0-a)(x_0+a)}{2x_0^2(x_0-a)\sqrt{a^2-x_0^2}}

Έχουμε ελάχιστο για x_0=a/2

το \dfrac{9ab}{2\sqrt{3}}


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14444
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 12, 2022 2:23 pm

Παραλλαγή: Το σημείο είναι το S(a\sin \theta,\, b\cos \theta ) όπου 0<\theta < \pi /2. Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι bx\cos \theta + ay \sin \theta =1, οπότε P\left (-a, \dfrac {b(1+ \cos \theta )} {\sin \theta } \right ) και T\left (\dfrac {a}  {\cos \theta } ,\, 0 \right ). Άρα το εμβαδόν είναι

  \dfrac {ab(1+ \cos \theta) } {2\sin \theta \cos  \theta }

Με παραγώγιση βρίσκεται το ελάχιστο το οποίο ανάγεται στην επίλυση της \cos ^ 2 \theta + \cos \theta -1=0. Όλα άμεσα (δεν έκανα έλεγχο των πράξεων).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5052
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελλειπτικό εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 15, 2022 8:02 pm

Αφού έγραφα για ώρα, κατόπιν είδα ότι είχε ήδη αναρτήσει την ίδια λύση ο Μιχάλης. Το αφήνω για το σχήμα.

15-06-2022 Γεωμετρία.png
15-06-2022 Γεωμετρία.png (31.58 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές


Έστω  \displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 η έλλειψη και  \displaystyle S\left( {a\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;b\eta \mu \varphi } \right) σημείο της στο οποίο φέραμε την εφαπτομένη με εξίσωση  \displaystyle \frac{{x\sigma \upsilon \nu \varphi }}{a} + \frac{{y\eta \mu \varphi }}{b} = 1 .

Τότε  \displaystyle {\rm T}\left( {\frac{a}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},0} \right) και  \displaystyle P\left( { - a,\;\frac{{1 + \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }} \cdot b} \right) , οπότε  \displaystyle \left( {PBT} \right) = \frac{{{\rm B}{\rm T} \cdot {\rm B}P}}{2} = ab\frac{{{{\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)}^2}}}{{\eta \mu 2\varphi }} .

Το λογισμικό δίνει ελάχιστο  \displaystyle \frac{{3\sqrt 3 ab}}{2}, για  \displaystyle \varphi  = \frac{\pi }{3}, δηλαδή όσο βρήκε ο Κώστας παραπάνω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης