mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 18, 2022 6:52 pm**

: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png (15.78 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Σε κύκλο ακτίνας

, εγγράφουμε τρίγωνο ABC

, με

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν

αυτού του τριγώνου . Για ευκολία θεωρήστε ότι : r=1

. Επιτρεπτή η χρήση λογισμικού στο τέλος .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 19, 2022 2:36 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2022 6:52 pm
Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.pngΣε κύκλο ακτίνας , εγγράφουμε τρίγωνο , με . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν

αυτού του τριγώνου . Για ευκολία θεωρήστε ότι : . Επιτρεπτή η χρήση λογισμικού στο τέλος .

Έστω

η ακτίνα του κύκλου και το τρίγωνο ABC

οξυγώνιο.

: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Είναι $\displaystyle AC = 2\sin \theta$ και με νόμο συνημιτόνου στο ABC

έχω:

$\displaystyle 4{\sin ^2}\theta = 5{x^2} - 4{x^2}\cos \theta \Leftrightarrow 4(1 - {\cos ^2}\theta ) = 5{x^2} - 4{x^2}\cos \theta \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{\cos ^2}\theta - 4{x^2}\cos \theta + 5{x^2} - 4 = 0,$ απ' όπου παίρνω $\displaystyle \cos \theta = \frac{{{x^2} - \sqrt {{x^4} - 5{x^2} + 4} }}{2}$

(η άλλη ρίζα δίνει μικρότερο εμβαδόν) και $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{2}\sqrt {5 - 2{x^2} + 2\sqrt {{x^4} - 5{x^2} + 4} }$

$\displaystyle (ABC) = {x^2}\sin \theta = \frac{{{x^3}}}{2}\sqrt {5 - 2{x^2} + 2\sqrt {{x^4} - 5{x^2} + 4} }$ και με τη χρήση λογισμικού

βρίσκω $\boxed{ {(ABC)_{\max }} = \frac{3}{{64}}\sqrt {\frac{3}{2}\left( {485\sqrt {97} - 4523} \right)}}$ όταν $\boxed{ x = \frac{1}{4}\sqrt {45 - 3\sqrt {97} }}$

mathematica.gr

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου