Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: 7-4 πλευρά ισοπλεύρου.png (81.17 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο πλευράς . Θεωρούμε τα σημεία $H,F \in AB$ , το $E \in AC$ και το $Z \in BC$

ώστε $AF=BH=ZC=AE=\dfrac{a}{4}$ .

Τα ημικύκλια διαμέτρων

και

τέμνονται στα P,L

. Η

τέμνει την

στο

.

Αν δοθεί AT=1

τότε: Να υπολογιστεί η πλευρά του $\triangle ABC$

Προς το παρόν έχω λύση με χρήση συντεταγμένων... Δεκτή κάθε λύση. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 07, 2022 9:07 pm
Χαιρετώ.
7-4 πλευρά ισοπλεύρου.png

Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς . Θεωρούμε τα σημεία $H,F \in AB$ , το $E \in AC$ και το $Z \in BC$

ώστε $AF=BH=ZC=AE=\dfrac{a}{4}$ .

Τα ημικύκλια διαμέτρων και τέμνονται στα . Η τέμνει την στο .

Αν δοθεί τότε: Να υπολογιστεί η πλευρά του $\triangle ABC$

Προς το παρόν έχω λύση με χρήση συντεταγμένων... Δεκτή κάθε λύση. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου

και

το δεύτερο σημείο τομής της

με τον κύκλο διαμέτρου EZ.

Έστω ακόμη

η προβολή του

στην

Τότε:

: Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου.png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

$\displaystyle MC = \frac{{EC}}{2} = \frac{{3a}}{8}$ και $\displaystyle CZ \cdot CM = CN \cdot CE \Leftrightarrow \frac{a}{4} \cdot \frac{{3a}}{8} = CN \cdot \frac{{3a}}{4} \Leftrightarrow CN = \frac{a}{8}$

Με νόμο συνημιτόνου στο $ATK, (AT=1, AK=\dfrac{a}{2}),$ βρίσκω $\displaystyle T{K^2} = \frac{{{a^2} - 2a + 4}}{4}.$

Τέλος, $\displaystyle TE \cdot TN = TL \cdot TP = T{K^2} - \frac{{{a^2}}}{{16}} \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{4} - 1} \right)\left( {\frac{{7a}}{8} - 1} \right) = \frac{{6{a^2} - 16a + 32}}{{16}} \Leftrightarrow ...$ $\boxed{a=20}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 07, 2022 9:07 pm
Χαιρετώ.
7-4 πλευρά ισοπλεύρου.png

Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς . Θεωρούμε τα σημεία $H,F \in AB$ , το $E \in AC$ και το $Z \in BC$

ώστε $AF=BH=ZC=AE=\dfrac{a}{4}$ .

Τα ημικύκλια διαμέτρων και τέμνονται στα . Η τέμνει την στο .

Αν δοθεί τότε: Να υπολογιστεί η πλευρά του $\triangle ABC$

Προς το παρόν έχω λύση με χρήση συντεταγμένων... Δεκτή κάθε λύση. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Η

τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο

και $FE=//ZD=\dfrac{a}{4} \Rightarrow FZ=//ED=\dfrac{3a}{4}$ και

$\angle ZFK=60^0 \Rightarrow FK= \dfrac{FZ}{2} = \dfrac{3a}{8} \Rightarrow EK=NZ= \dfrac{a}{8}$

Είναι $\angle JHF=30^0= \angle PFJ \Rightarrow FP$ μεσοκάθετη της

κι επειδή $\dfrac{FH}{HB}= \dfrac{FP}{PR}=2$ ,

είναι το περίκεντρο του $\triangle BFZ \Rightarrow \angle PZB=30^0 \Rightarrow \angle KZP=60^0$

Επομένως $\angle QLF=\angle QLK=60^0= \angle AFE \Rightarrow FLKQ$ εγγράψιμμο,άρα $\angle FQK=60^0 \Rightarrow \triangle FQK$

ισόπλευρο πλευράς $\dfrac{3a}{8}$

Ισχύει $\dfrac{FI}{FE}= \dfrac{FI}{HP}= \dfrac{QF}{QH}= \dfrac{ \dfrac{3a}{8} }{ \dfrac{3a}{8}+ \dfrac{a}{2} } = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \dfrac{FI}{ \dfrac{a}{4} }= \dfrac{3}{7} \Rightarrow FI= \dfrac{3a}{28} \Rightarrow FE= \dfrac{4a}{28}$

Επομένως $\dfrac{FI}{FE}= \dfrac{3}{4}$

Τέλος ,ο Μενέλαος στο τρίγωνο AFE

με διατέμνουσα ITQ

δίνει

$\dfrac{FI}{IE}. \dfrac{ET}{TA}. \dfrac{QA}{QF}=1 \Rightarrow \dfrac{3}{4}.( \dfrac{a}{4}-1). \dfrac{ \dfrac{a}{8} }{ \dfrac{a}{8}+ \dfrac{a}{4} }=1 \Rightarrow a=20$

: Εύρεση πλευράς ισόπλευρου τριγώνου.png (74.39 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

nickchalkida · #4

Με $D=AB \cap PL$ και θεωρώντας δεδομένα ότι α) η

διέρχεται εκ του

και β) ότι $PE \parallel AB$ θα είναι::: :
[ Το α) αποδεικνύεται ελέγχοντας ότι $DF\cdot DH = DE\cdot DZ = \dfrac{21a^2}{16}$ βρίσκοντας με ν.σ. στο EZC

ότι $EZ^2=\dfrac{7a^2}{16}$ ,
ενώ το β) αποδεικνύοντας ότι τα $\triangle MHP$ , $\triangle AFE$ είναι ίσα ισόπλευρα.]

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \dfrac{FD}{BD} = \dfrac{FE}{BZ} = \dfrac{\dfrac{a}{4} }{\dfrac{3a}{4} } = \dfrac{1}{3} \cr & FD = \dfrac{BF}{2} = \dfrac{3a}{8} \ \ \ \&\& \ \ \ AD = FD - AF = \dfrac{3a}{8} - \dfrac{a}{4} = \dfrac{a}{8} \cr & \dfrac{AT}{TE} = \dfrac{AD}{EP} = \dfrac{\dfrac{a}{8} }{\dfrac{a}{4} } = \dfrac{1}{4} \rightarrow \dfrac{AT}{AE} = \dfrac{1}{5} \rightarrow \dfrac{AT}{AB} = \dfrac{1}{20} \cr \end{aligned} }$

Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση