Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές

Στο σχήμα φαίνονται δύο τεταρτοκύκλια με ακτίνες

και

. Το τμήμα

με άκρα στα δύο τόξα κινείται , παραμένοντας παράλληλο προς την

.

Οι ημιευθείες TB , PD

τέμνονται στο

. Υπολογίστε το : $(SPT)_{min}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 03, 2021 2:17 pm
Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα.pngΣτο σχήμα φαίνονται δύο τεταρτοκύκλια με ακτίνες και . Το τμήμα

με άκρα στα δύο τόξα κινείται , παραμένοντας παράλληλο προς την .

Οι ημιευθείες τέμνονται στο . Υπολογίστε το : $(SPT)_{min}$ .

Έστω $\angle \omega =\angle DOP,\angle \varphi =\angle BOT$ και $OM\bot TB,ON\bot PD,\upsilon =SK\bot TP$ . Τότε θα εύκολα διαπιστώνουμε ότι: $\angle PTO=\angle \varphi ,\angle POT=\angle \omega -\varphi ,\angle TPO={{180}^{0}}-\angle \omega ,$ $\angle KSP=\dfrac{\angle \omega }{2},\angle KST=\dfrac{\angle \varphi }{2}$

: Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle TOP$ θα έχουμε:
$\dfrac{OP}{\sin \varphi }=\dfrac{OT}{\sin \omega }=\dfrac{TP}{\sin \left( \omega -\varphi \right)}\Rightarrow \dfrac{2}{\sin \varphi }=\dfrac{3}{\sin \omega }=\dfrac{TP}{\sin \left( \omega -\varphi \right)}\Rightarrow$
$\sin \varphi =\dfrac{2}{3}\sin \omega$ και $TP=\dfrac{3\sin \left( \omega -\varphi \right)}{\sin \omega }$ . Θέτουμε $\sin \omega =t,t\in \left[ 0,1 \right]$ οπότε $\sin \varphi =\dfrac{2}{3}t$ , $\cos \omega =\sqrt{1-{{t}^{2}}}$ και $\cos \varphi =\sqrt{1-\dfrac{4}{9}{{t}^{2}}}$ (αφού οι γωνίες είναι οξείες) , έτσι έχουμε:
$TP=\dfrac{3\left( \sin \omega \cos \varphi -\sin \varphi \cos \omega \right)}{\sin \omega }=\dfrac{3}{t}\cdot \left( t\sqrt{1-\dfrac{4}{9}{{t}^{2}}}-\dfrac{2}{3}t\sqrt{1-{{t}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow TP=3\sqrt{1-\dfrac{4}{9}{{t}^{2}}}-2\sqrt{1-{{t}^{2}}}:\left( 1 \right)$
Εξάλλου είναι: $KP=\upsilon \cdot \tan \dfrac{\omega }{2}$ και $KT=\upsilon \cdot \tan \dfrac{\varphi }{2}$ οπότε με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: $KP-KT=\upsilon \cdot \left( \tan \dfrac{\omega }{2}-\tan \dfrac{\varphi }{2} \right)\Rightarrow TP=\upsilon \cdot \left( \tan \dfrac{\omega }{2}-\tan \dfrac{\varphi }{2} \right)$
$\overset{\cdot TP}{\mathop{\Rightarrow }}\,T{{P}^{2}}=TP\cdot \upsilon \cdot \left( \tan \dfrac{\omega }{2}-\tan \dfrac{\varphi }{2} \right)\Rightarrow T{{P}^{2}}=2\left( STP \right)\cdot \left( \tan \dfrac{\omega }{2}-\tan \dfrac{\varphi }{2} \right)$
$\left( STP \right)=\dfrac{T{{P}^{2}}}{2\cdot \left( \tan \dfrac{\omega }{2}-\tan \dfrac{\varphi }{2} \right)}:\left( 2 \right)$ . Από Τον τύπο ${{\tan }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$ θα έχουμε: $\tan \dfrac{\omega }{2}=\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-{{t}^{2}}}}{1+\sqrt{1-{{t}^{2}}}}}$ και $\tan \dfrac{\varphi }{2}=\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-\dfrac{4}{9}{{t}^{2}}}}{1+\sqrt{1-\dfrac{4}{9}{{t}^{2}}}}}$ οπότε η σχέση $\left( 2 \right)$ και με την βοήθεια της σχέσης $\left( 1 \right)$ και θέτοντας ${{t}^{2}}=x$ δίνει τη συνάρτηση
$f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( 3\sqrt{1-\dfrac{4}{9}x}-2\sqrt{1-x} \right)}^{2}}}{2\left( \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}}}-\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-\dfrac{4}{9}x}}{1+\sqrt{1-\dfrac{4}{9}x}}} \right)},x\in \left[ 0,1 \right]$ της οποίας η γραφική παράσταση και το ακρότατο φαίνεται πιο κάτω .

: Συνάρτηση (ακρότατα).png (29.97 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Σημείωση: Η αναλυτική μελέτη της εν λόγω συνάρτησης αφήνεται για τον Εισηγητή ή όποιον άλλον καλό φίλο δεν έχει «δουλειές»

Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα

Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα

Re: Ελαχιστοποίηση χωρίς ελπίδα

Μέλη σε σύνδεση