Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

KARKAR · #1

Χωρίζουμε τα γεωμετρικά θεωρήματα σε τέσσερις ομάδες .

Α) Αυτά που περιέχονται στα σχολικά βιβλία ( και τα : διχοτόμων , διαμέσων , τεμνόμενων χορδών ) .

Β) Αυτά που έχουν συνάφεια με το σχολικό ( π.χ είναι απαιτητικές ασκήσεις ) , όπως τα :

Μενελάου , Πτολεμαίου , Stewart , Van Aubel , Nagel , ευθεία Simson , κύκλος Euler κ.λ.π.

Γ) Δυσκολότερα θεωρήματα , τα οποία ο μέσος μαθητής πιθανότατα δεν θα ακούσει ποτέ .

Συλλογή τέτοιων θεωρημάτων δείτε στην έξοχη εργασία του parmenides , εδώ .

Προτείνω ως τέταρτη ομάδα , τις προτάσεις εκείνες , οι οποίες χρησιμοποιούνται στον ιστότοπο mathematica ,

τόσο συχνά , ώστε να επέχουν πλέον θέσεις θεωρημάτων .

Η λίστα αυτή θα έχει ασφαλώς στην πρώτη θέση το "κανονικό" Θεώρημα Κούτρα .

Ακολουθούν κάποιες προτάσεις με τις παραπομπές τους :

Αν

σημείο εσωτερικό γωνίας $\widehat{xOy}$ και τμήμα

με άκρα στις πλευρές της γωνίας

διέρχεται από το

, τότε το

ελαχιστοποιείται όταν : SM=MT

. Εδώ

Σε τρίγωνο με : $\hat{A}=2\hat{B}$ , ισχύει : a^2=b^2+bc

. εδώ

Η λίστα αυτή λογικά θα συγκεντρώσει αρκετές ακόμα προτάσεις ( ίσως με ) . Συνεχίζεται ...

KARKAR · #2

: θεώρημα τραπεζίου.png (5.08 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Αν το παράλληλο προς τις βάσεις του τραπεζίου , τμήμα

, διαιρεί την μη παράλληλη πλευρά

σε τμήματα :

$AS=\lambda$ και $SB=\mu$ , τότε είναι : $ST=\dfrac{\lambda \beta+\mu a}{\lambda+\mu}$ . Αποδείξεις υπάρχουν στο

, δώστε και την δική σας .

#3

: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Στο πιο πάνω σχήμα τα τετράπλευρα $AESD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBZT$ είναι παραλληλόγραμμα .

Τα $\vartriangle DET\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TZC$ είναι όμοια. $ET = x - a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC = b - x$ με $\boxed{ST = x}$ .

Άρα : $\boxed{\frac{{x - a}}{{b - x}} = \frac{k}{m} \Leftrightarrow x = \frac{{am + bk}}{{k + m}}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 19, 2021 1:16 pm
θεώρημα τραπεζίου.png Αν το παράλληλο προς τις βάσεις του τραπεζίου , τμήμα , διαιρεί την μη παράλληλη πλευρά σε τμήματα :

$AS=\lambda$ και $SB=\mu$ , τότε είναι : $ST=\dfrac{\lambda \beta+\mu a}{\lambda+\mu}$ . Αποδείξεις υπάρχουν στο , δώστε και την δική σας .

Παρόμοιο. Έστω DF||AB.

: Γεωμετρικά θεωρήματα.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

$\displaystyle \frac{x}{{b - a}} = \frac{l}{{l + m}} \Leftrightarrow x = \frac{{bl - al}}{{l + m}}$ και $\displaystyle ST = a + x = a + \frac{{bl - al}}{{l + m}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ST = \frac{{lb + ma}}{{l + m}}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 19, 2021 1:16 pm
θεώρημα τραπεζίου.png Αν το παράλληλο προς τις βάσεις του τραπεζίου , τμήμα , διαιρεί την μη παράλληλη πλευρά σε τμήματα :

$AS=\lambda$ και $SB=\mu$ , τότε είναι : $ST=\dfrac{\lambda \beta+\mu a}{\lambda+\mu}$ . Αποδείξεις υπάρχουν στο , δώστε και την δική σας .

Έχει ξανασυζητηθεί στο

το θέμα και έχω δώσει την ίδια λύση αλλά που να το βρεις τώρα

: Γεωμετρικά Θεωρήματα του mathematica.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Έστω $K\equiv BD\cap ST$ . Τότε με $SK\parallel AD\Rightarrow \dfrac{SK}{AD}=\dfrac{BS}{BA}=\dfrac{\mu }{\lambda +\mu }\Rightarrow SK=\dfrac{\mu a}{\lambda +\mu }:\left( 1 \right)$ και ομοίως από $TK\parallel BC\Rightarrow KT=\dfrac{\lambda b}{\lambda +\mu }:\left( 2 \right)$ ¨. Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι $ST=\dfrac{\mu a+\lambda b}{\lambda +\mu }$

KARKAR · #6

: θεώρημα 5.png (8.15 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

Σε τρίγωνο ABC

ισχύει η ισοδυναμία : $a^2=b^2+ac \Leftrightarrow \hat{A}=90^\circ+\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

Η πρόταση αναδείχθηκε από τον Γιώργο Μήτσιο . Ξεκινάτε από εδώ

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 19, 2021 9:03 pm
θεώρημα 5.pngΣε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία : $a^2=b^2+ac \Leftrightarrow \hat{A}=90^\circ+\dfrac{\hat{B}}{2}$ .

Η πρόταση αναδείχθηκε από τον Γιώργο Μήτσιο . Ξεκινάτε από εδώ

Kαλησπέρα σε όλους. Μια αμιγώς Τριγωνομετρική απόδειξη:

: θεώρημα 5.png (8.15 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Ευθύ:
Έστω $\displaystyle \hat A = \frac{\pi }{2} + \frac{{\hat B}}{2},\;\;\widehat B = \theta ,\;0 < \theta < \pi$ .

Τότε: $\displaystyle \frac{a}{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\theta }{2}} \right)}} = \frac{b}{{\eta \mu \theta }} = \frac{c}{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\theta }}{2}} \right)}} = 2R \Leftrightarrow \frac{a}{{\sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}}} = \frac{b}{{\eta \mu \theta }} = \frac{c}{{\sigma \upsilon \nu \frac{{3\theta }}{2}}} = 2R$

Οπότε $\displaystyle {a^2} = {b^2} + ac \Leftrightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\theta }{2} = \eta {\mu ^2}\theta + \sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{3\theta }}{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2} - \sigma \upsilon \nu \frac{{3\theta }}{2}} \right) = \eta {\mu ^2}\theta \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}\eta \mu \frac{\theta }{2}\eta \mu \theta = \eta {\mu ^2}\theta$ , που ισχύει.

Αντίστροφο:

Έστω ότι $\displaystyle {a^2} = {b^2} + ac$ . Έστω $\widehat {\rm B} = \theta$

Τότε $\displaystyle \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}{\rm A} - \eta \mu {\rm A}\eta \mu \left( {{\rm A} + \theta } \right) - \eta {\mu ^2}\theta = 0$ (1)

Ισχύει $\displaystyle {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\sigma \upsilon \nu \theta$ (2),

οπότε, από (1) και (2) έχουμε:

$\displaystyle ac = 2ac\sigma \upsilon \nu \theta - {c^2} \Leftrightarrow a = 2a\sigma \upsilon \nu \theta - c \Leftrightarrow c = a\left( {2\sigma \upsilon \nu \theta - 1} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \eta \mu \left( {{\rm A} + \theta } \right) = \eta \mu {\rm A}\left( {2\sigma \upsilon \nu \theta - 1} \right) \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A} = \eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu \theta - \sigma \upsilon \nu {\rm A}\eta \mu \theta$

$\displaystyle \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A} = \eta \mu \left( {{\rm A} - \theta } \right) \Leftrightarrow {\rm A} = \pi - {\rm A} + \theta \Leftrightarrow {\rm A} = \frac{\pi }{2} + \frac{\theta }{2}$ , εφόσον $\displaystyle 0 < \widehat {\rm A} < \pi$

Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Re: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Re: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Re: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Re: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Re: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Re: Γεωμετρικά θεωρήματα του mathematica

Μέλη σε σύνδεση