Βρείτε την γωνία x

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ!

: 22-10 x η μοναχική.png (132.72 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και $\widehat{BAC}=80^o$ . Το $E \in AB$ και το $F \in CE$ ώστε FE=BE

Αν ισχύει $\widehat{BCE}=\widehat{AFE}=x$ τότε: Να βρεθεί η γωνία .

Δεν έχω, προς το παρόν , απόδειξη για την μοναδικότητα της τιμής για την γωνία ...

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 22, 2021 11:15 pm
Καλό βράδυ!
22-10 x η μοναχική.png

Το τρίγωνο έχει και $\widehat{BAC}=80^o$ . Το $E \in AB$ και το $F \in CE$ ώστε

Αν ισχύει $\widehat{BCE}=\widehat{AFE}=x$ τότε: Να βρεθεί η γωνία .

Δεν έχω, προς το παρόν , απόδειξη για την μοναδικότητα της τιμής για την γωνία ...

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

Κάνω την κατασκευή του σχήματος.

: χ μοναδική.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Επί της

θεωρώ σημείο

ώστε

και σημείο

επί της

ώστε

Θα δείξω ότι τα σημεία

E, F

ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της άσκησης. Πράγματι είναι $\displaystyle C\widehat EA = 80^\circ \Rightarrow E\widehat CB = x = 30^\circ.$ Αρκεί να δείξω

ότι $\displaystyle A\widehat FE = E\widehat CB.$ Από γνωστή άσκηση για το ισοσκελές $AEC (80^\circ-80^\circ-20^\circ),$ με EA=FC

είναι $\displaystyle F\widehat AC = 10^\circ ,$

απ' όπου $\displaystyle A\widehat FE = 30^\circ = E\widehat CB.$

Μία προσέγγιση για την μοναδικότητα, (περισσότερο διαισθητική παρά αποδεικτική) είναι η παρακάτω:

: χ μοναδική.β.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Στο σχήμα είναι BE=EF

και το

κινείται στην πλευρά

από το

στο

Παρατηρούμε ότι η γωνία $\theta$ συνεχώς αυξάνεται ενώ η

γωνία

ελαττώνεται. Άρα υπάρχει μοναδική θέση του

ώστε $\theta=x$ και αυτή είναι θέση που είδαμε πιο πάνω με τις γωνίες να είναι ίσες

με $30^\circ$ η καθεμία.

#3

[Τρίτος Γιώργος χωράει; Φυσικά, ιδίως αν είναι και ο επιμελητής του φακέλου

Πάμε για 3G λοιπόν -- κρατηθείτε γερά

]

Αντί επαναφοράς ... μία ημιτελής προσπάθεια για την μοναδικότητα ... γενικεύοντας για γωνία κορυφής $\alpha$ :

Από Νόμο Ημιτόνων στα τρίγωνα AEF

και

(σχήμα Γιώργου Βισβίκη) λαμβάνουμε αντίστοιχα

$\dfrac{b-d}{sin\theta}=\dfrac{d}{sin\left(\dfrac{\pi +\alpha}{2}-x-\theta \right)}$

και

$\dfrac{b-d}{sin\left(\dfrac{\pi -\alpha}{2}-x\right)}=\dfrac{b}{sin\left(\dfrac{\pi -\alpha}{2}+x\right)},$

όπου b=|AB|=|AC|

και

.

Απλοποιώντας αρκετά το πρόβλημα μέσω $\theta =x$ και απαλείφοντας τα b, d

λαμβάνουμε την εξίσωση

$2sin\dfrac{\alpha}{2}sin^2x+sin\dfrac{\alpha}{2}cos\left(3x-\dfrac{\pi +\alpha}{2}\right)-sin\dfrac{\alpha}{2}cos\left(\dfrac{\pi +\alpha}{2}-x\right)-\dfrac{cos(3x-\alpha)}{2}-\dfrac{cosx}{2}=0.$

Όλα δείχνουν ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μία ακριβώς λύση για $x\in \left(\dfrac{\pi -\alpha}{4}, min[\dfrac{\pi -\alpha}{2}, \dfrac{\pi +\alpha}{4}]\right)$ , και αυτό επειδή φαίνεται να είναι θετική σ' αυτό το διάστημα* η παράγωγος:

$2sin\dfrac{\alpha}{2}sin2x-3sin\dfrac{\alpha}{2}sin\left(3x-\dfrac{\pi +\alpha }{2}\right)-sin\dfrac{\alpha}{2}sin\left(\dfrac{\pi +\alpha}{2}-x\right)+\dfrac{3sin(3x-\alpha )}{2}+\dfrac{sinx}{2}>0.$

[Δεν έχω απόδειξη για τους παραπάνω ισχυρισμούς, αφήνω όμως εδώ την 'συνάρτηση μοναδικότητας' για να μην χαθεί, και ... βλέπουμε...]

*δεν ξέρω αν αυτά είναι τα βέλτιστα όρια για την γωνία

συναρτήσει της γωνίας $\alpha$ -- στο συνημμένο βλέπετε το γράφημα της συνάρτησης για $\alpha =80^0\approx 1,4$ (πρόβλημα Γιώργου Μήτσιου) και 25^0<x<65^0

(θα αρκούσε η 25^0<x<50^0

), με μοναδική ρίζα $x=30^0=\dfrac{\pi }{6}\approx 0,52$ .

: mitsios-80.png (31.95 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Βρείτε την γωνία x

Βρείτε την γωνία x

Re: Βρείτε την γωνία x

Re: Βρείτε την γωνία x

Μέλη σε σύνδεση