Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

#1

Δεν θυμάμαι αν την έχουμε συζητήσει:
Να κατασκευαστεί τρίγωνο από την πλευρά $\alpha$ και τις αντίστοιχες διχοτόμους την εσωτερική $\delta _{\alpha }=p$ και την εξωτερική $\delta _{\alpha }^{\prime }=q$ .

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα Νίκο, με μία άποψη επί της Ανάλυσης (και εγώ δεν θυμάμαι αν το θέμα αυτό το έχουμε ξανασυζητήσει).

Βρισκόμαστε λοιπόν στο Βασικό περιβάλλον της Ανάλυσης που οδηγεί στις επόμενες κινήσεις Κατασκευή, Απόδειξη, Διερεύνηση.
Έστω ότι το τρίγωνο ABC

έχει κατασκευαστεί, τότε, θεωρούμε τα αρμονικά συζυγή D, E

των

και άμεσα διαπιστώνουμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο AED

είναι κατασκευάσιμο (

μεταξύ των E, D

). Ας θεωρήσουμε d=ED.

Για να κατασκευάσουμε το τρίγωνο ABC

αρκεί να κατασκευάσουμε το τμήμα MD=x

, όπου

είναι το μέσο της δεδομένης πλευράς BC = a.

Αυτό, ως γνωστόν, επιτυγχάνεται από τη ισχύουσα λόγω των αρμονικών συζυγών βασική σχέση $\displaystyle{x\left( {x + d} \right) = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.}$

: κατ..png (73.13 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

#3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 28, 2021 3:31 am
Δεν θυμάμαι αν την έχουμε συζητήσει:
Να κατασκευαστεί τρίγωνο από την πλευρά $\alpha$ και τις αντίστοιχες διχοτόμους την εσωτερική $\delta _{\alpha }=p$ και την εξωτερική $\delta _{\alpha }^{\prime }=q$ .

Καλημέρα σε όλους!

Έστω ότι κατασκευάστηκε και AD=p, AE=q.

Φέρνω και το ύψος AH=h.

: a,p,q.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Προφανώς το ορθογώνιο τρίγωνο AED

είναι κατασκευάσιμο, άρα και το ύψος

είναι σταθερό, οπότε και η γωνία $\displaystyle \theta = \frac{{|\widehat B - \widehat C}|}{2}$ είναι σταθερή. Το πρόβλημα ανάγεται λοιπόν στην παρακάτω γνωστή κατασκευή:

Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν δίνονται η πλευρά το ύψος και η διαφορά των γωνιών $\widehat B - \widehat C=2\theta.$

Θα επανέλθω για την τελευταία αυτή κατασκευή.

#4

Ανάλυση .
Έστω $AD = p\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = q$ οι διχοτόμοι του ζητούμενου $\vartriangle ABC$ . Είναι $\widehat {DAE} = 90^\circ$ .

Το $\vartriangle ADE$ κατασκευάζεται και άρα η υποτείνουσά του DE = k

( σταθερή).

Ας είναι $DC = x\,,\,\,DB = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE = z$ . Θα ισχύουν ταυτόχρονα:

: κατασκευή απο διιχοτόμους και πλευρά.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x + y = a \hfill \\ x + z = k \hfill \\ \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{EC}}{{EB}} \hfill \\ x < k \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Προκύπτει εύκολα $\boxed{2x = a + k - \sqrt {{a^2} + {k^2}} }$

Κατασκευή

Κατασκευάζω το τμήμα GM = 2x

, προσδιορίζω το

και θεωρώ το συμμετρικό του

ως προς την

.

Η

τέμνει την ευθεία

στο

.

#5

Επανέρχομαι για να ολοκληρώσω τη λύση μου με την κατασκευή τριγώνου όταν δίνονται

η πλευρά το ύψος και η διαφορά των γωνιών $\widehat B - \widehat C=2\theta.$

: a,p,q.II.png (9.59 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Στο μέσο

της πλευράς

υψώνω κάθετο και θεωρώ το σημείο

ώστε

Από το

φέρνω ευθεία

$\epsilon||BC$ και έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Στη συνέχεια γράφω το τόξο χορδής

που δέχεται γωνία

$180^\circ-2\theta.$ Το σημείο τομής του τόξου με την ευθεία $(\epsilon)$ είναι η τρίτη κορυφή

του ζητούμενου τριγώνου ABC.

#6

Σωτήρη, Γιώργο, Νίκο σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας οι οποίες είναι κατά πολύ κομψότερες της δικής μου την οποία περιγράφω εν συντομία:
Από τα θεωρήματα των διχοτόμων έχουμε
$\displaystyle{\beta \gamma =p^{2}+\frac{\alpha ^{2}\beta \gamma }{\left( \beta +\gamma \right) ^{2}},\,\,\,\beta \gamma =\frac{\alpha ^{2}\beta \gamma }{\left( \beta -\gamma \right) ^{2}}-q^{2}}$ .
Θέτουμε
$\displaystyle{s=\beta +\gamma ,\,\,\,\,t=\beta \gamma }$
και αρκεί να κατασκευάσουμε τα t,s

η δε κατασκευή από αυτά των $\beta,\gamma$ είναι γνωστή.
Οι παραπάνω σχέσεις μας οδηγούν στο σύστημα:
$t=p^{2}+\frac{\alpha ^{2}t}{s^{2}},\,\,\,\,\,\,\,\,t=\frac{\alpha ^{2}t}{s^{2}-4t}-q^{2}$
Επιλύοντας την πρώτη έχουμε
$t=\frac{p^{2}s^{2}}{s^{2}-\alpha ^{2}}$ και αν κατασκευαστεί το

και το

είναι κατασκευάσιμο.
Αντικαθιστούμε στην δεύτερη και αναγόμαστε σε μία διτετράγωνη ως προς

που οι ρίζες της είναι κατασκευάσιμες.

Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Re: Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Re: Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Re: Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Re: Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Re: Κατασκευή από διχοτόμους και πλευρα

Μέλη σε σύνδεση