mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 07, 2021 8:32 am**

Χαιρετώ!

: 7-9 Παιχνίδι..Φιλικό.png (94.44 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Το τρίγωνο PAO

έχει $\widehat{A}=90^o$ και το σημείο $K \in AO$ .

Ο κύκλος $\left ( O, OK \right )$ τέμνει την

στο

. Αν είναι PE=2AK

(*) τότε:

Βρείτε τον λόγο $\dfrac{\left ( PAO \right )}{\left ( AEK \right )}$ και συμβολίστε τον ... ... άΦοβα, όπως σας αρέσει!

Υ.Γ Ζητώ συγνώμη για την αβλεψία-παράλειψη: Ισχύει

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 07, 2021 12:04 pm**

Κατασκευή.

: παιγνίδι φιλικό.png (16.38 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Έστω ευθύγραμμο τμήμα

και το διαιρώ σε μέσο κι άκρο λόγο από το σημείο

.

Ας είναι

το μέσο του

. Ο κύκλος $\left( {O,OM} \right)$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο

.

Μετά βρήκα $\boxed{\frac{{\left( {PAO} \right)}}{{\left( {AEK} \right)}} = {{\left( {\varphi + 1} \right)}^2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 07, 2021 4:46 pm**

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 07, 2021 8:32 am
Χαιρετώ!
7-9 Παιχνίδι..Φιλικό.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ και το σημείο $K \in AO$ .

Ο κύκλος $\left ( O, OK \right )$ τέμνει την στο . Αν είναι (*) τότε:

Βρείτε τον λόγο $\dfrac{\left ( PAO \right )}{\left ( AEK \right )}$ και συμβολίστε τον ... ... άΦοβα, όπως σας αρέσει!

Υ.Γ Ζητώ συγνώμη για την αβλεψία-παράλειψη: Ισχύει

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο συνημιτόνου στο OEK

είναι:

: παιχνίδι... φιλικό.png (13.51 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

$\displaystyle 4{y^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\cos \omega = 2{x^2} - 2{x^2}\frac{{x + y}}{{x + 2y}} \Leftrightarrow {x^2} - 2xy - 4{y^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = 2\Phi y}$ (1)

Άρα, $\displaystyle \cos \omega = \frac{{y(2\Phi + 1)}}{{2y(\Phi + 1)}} = \frac{{\Phi (\Phi + 1)}}{{2(\Phi + 1)}} = \frac{\Phi }{2} \Leftrightarrow \omega = 36^\circ$ και $\theta=72^\circ.$

$\displaystyle \frac{{(PAO)}}{{(AEK)}} = \frac{{(x + y)(x + 2y)\sin 36^\circ }}{{2{y^2}\sin 72^\circ }}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{2{y^2}\Phi {{(\Phi + 1)}^2}\sin 36^\circ }}{{4{y^2}\sin 36^\circ \cos 36^\circ }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(PAO)}}{{(AEK)}} = {(\Phi + 1)^2}=\Phi ^4}$

mathematica.gr

Παιχνίδι ... Φιλικό

Παιχνίδι ... Φιλικό

Re: Παιχνίδι ... Φιλικό

Re: Παιχνίδι ... Φιλικό