Χρυσός λόγος και σύγκριση τμημάτων

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!

: 17-7 Από χρυσό...ισότητα.png (131.8 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και $\widehat{A}=48^o$ .

Το

είναι στο εσωτερικό του ώστε να είναι $\widehat{CAN}=30^o$ και $\dfrac{AN}{NC}=\Phi$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός .

Να εξεταστεί αν . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 17, 2021 10:41 am
Καλημέρα σε όλους!
17-7 Από χρυσό...ισότητα.png

Το τρίγωνο έχει και $\widehat{A}=48^o$ .

Το είναι στο εσωτερικό του ώστε να είναι $\widehat{CAN}=30^o$ και $\dfrac{AN}{NC}=\Phi$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός .

Να εξεταστεί αν . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα Γιώργο!

: Γ.Μ.II.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Με νόμο ημιτόνων στο ANC,

$\displaystyle \sin (A\widehat CN) = \frac{{AN}}{{NC}}\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} \Leftrightarrow A\widehat CN = 54^\circ$ και $NCB=12^\circ.$

Με τριγωνομετρικό $\displaystyle {\rm{Ceva}}:$ $\displaystyle \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \cdot \frac{{\sqrt 5 + 1}}{{4\sin 12^\circ }} \cdot \frac{{\sin \theta }}{{\sin (66^\circ - \theta )}} = 1 \Leftrightarrow \sin \theta = 2\sin 12^\circ \sin (66^\circ - \theta ),$

απ' όπου $\displaystyle \sin \theta = \sin (36^\circ + \theta ) - \sin (12^\circ + \theta )$ και $\boxed{\theta=18^\circ}$

Με νόμο ημιτόνων τώρα στο BNC

προκύπτει $\displaystyle \frac{{BC}}{{NC}} = \frac{{\sin 150^\circ }}{{\sin 18^\circ }} = \Phi \Leftrightarrow$ $\boxed{AN=BC}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ!
Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την ωραία και άμεση αντιμετώπιση του παρόντος!

Προτίθεμαι να δώσω και προσωπική προσέγγιση, με έμμεσο τρόπο: Υποβάλλοντας μια ακόμη λύση

σε παλαιό θέμα - που έκλεισε τον...

... ενδεκαετή του κύκλο στο - και σε μένα φάνηκε ελκυστικό βεβαίως!
Το παρόν είναι προσωπική, ελαφρά παραλλαγή εκείνου του θέματος.

Φιλικά, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 17, 2021 10:41 am
Καλημέρα σε όλους!
17-7 Από χρυσό...ισότητα.png

Το τρίγωνο έχει και $\widehat{A}=48^o$ .

Το είναι στο εσωτερικό του ώστε να είναι $\widehat{CAN}=30^o$ και $\dfrac{AN}{NC}=\Phi$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός .

Να εξεταστεί αν . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι γνωστό ότι $\Phi =2cos36^0$

Έστω $AD \bot BC,AZ \bot CN,CE \bot AN$ .Τότε, $\angle NAD=6^0$ κι από $\triangle AZN \simeq \triangle NEC$ έχουμε

$\dfrac{AN}{NC}= \dfrac{AZ}{EC} \Rightarrow \Phi = \dfrac{AZ}{ \dfrac{b}{2} } \Rightarrow cos36^0= \dfrac{AZ}{b}= cos \angle ZAC \Rightarrow \angle ZAC=36^0 \Rightarrow \angle ACZ=54^0$

$\dfrac{AN^2}{NC^2}= \Phi ^2= \Phi +1 \Rightarrow CN^2=AN.(AN-CN)$ (1)

κι ‘εστω σημείο

του

ώστε

Λόγω της

,η

θα είναι εφαπτόμενη του κύκλου (A,P,C)

,άρα $\angle PCN=30^0$ ,συνεπώς

$\angle ACP=24^0$ και APQC

ισοσκελές τραπέζιο,άρα CQ=CN

Στο ορθογώνιο τρίγωνο QDC

είναι $\angle DQC=24^0+30^0=54^0 \Rightarrow \angle QCD=36^0$

$cos36^0= \dfrac{CD}{CQ}= \dfrac{ \dfrac{a}{2} }{CN} \Rightarrow \Phi = \dfrac{a}{CN}= \dfrac{AN}{CN} \Rightarrow AN=BC$

: AN=BC.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

Χρυσός λόγος και σύγκριση τμημάτων

Χρυσός λόγος και σύγκριση τμημάτων

Re: Χρυσός λόγος και σύγκριση τμημάτων

Re: Χρυσός λόγος και σύγκριση τμημάτων

Re: Χρυσός λόγος και σύγκριση τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση