Ανισοτική σχέση αποστάσεων

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ανισοτική σχέση αποστάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 04, 2021 2:07 pm

Σχέση αποστάσεων.png
Σχέση αποστάσεων.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Το P είναι εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC και έστω k, m, n οι αποστάσεις του από τις πλευρές BC, AC, AB

αντίστοιχα. Αν PA=x, PB=y, PC=z να δείξετε ότι \displaystyle xyz \ge (k + m)(m + n)(n + k).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5621
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ανισοτική σχέση αποστάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιούλ 20, 2021 2:24 pm

Βλέποντας αυτό το όμορφο θέμα, άξαφνα μου ήρθε η ιδέα για μία πολύ μικρή «πραγματεία», το επιχείρησα και σας παρουσιάζω το οδοιπορικό μου.

Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε: \angle ZAE = \angle MAN = \angle {A},\;\,PM = PN = d,\;\,AP = x,\;PE = m,\;PZ = n,\;MN = ZE. Εύκολα προκύπτει (και με το Θεώρημα Πτολεμαίου) η γνωστή πρόταση 2d \geqslant m + n. Έχουμε \displaystyle{\frac{x}{{m + n}} \geqslant \frac{x}{{2d}} \Rightarrow \frac{x}{{m + n}} \geqslant \frac{1}{{2\sin \angle \frac{A}{2}}}.} Επειδή αυτό ισχύει κυκλικά, αρκεί τελικά να αποδείξουμε \displaystyle{\frac{1}{{8\sin \angle \frac{A}{2}\sin \angle \frac{B}{2}\sin \angle \frac{C}{2}}} \geqslant 1}, αρκεί να αποδείξουμε \displaystyle{8\sin \angle \frac{A}{2}\sin \angle \frac{B}{2}\sin \angle \frac{C}{2} \leqslant 1,} που ισχύει ως γνωστή πρόταση, μάλιστα την πρώτη φορά, που που όσο με αφορά, την είχα δει ως υποψήφιος φοιτητής, ήταν στον 1ο τόμο της «Γεωμετρίας του Τριγώνου» του Ιωάννη Πανάκη.
Αsp.png
Αsp.png (70.88 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισοτική σχέση αποστάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιούλ 20, 2021 5:06 pm

Ας τη σφίξουμε λίγο:

Με τον ίδιο συμβολισμό να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{xyz\geq \frac{R}{2r}(k+m)(m+n)(n+k).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισοτική σχέση αποστάσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 21, 2021 10:30 am

matha έγραψε:
Τρί Ιούλ 20, 2021 5:06 pm
Ας τη σφίξουμε λίγο:

Με τον ίδιο συμβολισμό να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{xyz\geq \frac{R}{2r}(k+m)(m+n)(n+k).}
Είναι, \displaystyle 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{r}{R}

Έχει ήδη αποδειχθεί από τον Σωτήρη ότι: \displaystyle \frac{{xyz}}{{(k + m)(m + n)(k + n)}} \ge \frac{1}{{8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}} = \frac{R}{{2r}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανισοτική σχέση αποστάσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιούλ 21, 2021 10:21 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 04, 2021 2:07 pm
Σχέση αποστάσεων.png
Το P είναι εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC και έστω k, m, n οι αποστάσεις του από τις πλευρές BC, AC, AB

αντίστοιχα. Αν PA=x, PB=y, PC=z να δείξετε ότι \displaystyle xyz \ge (k + m)(m + n)(n + k).

Ας θεωρήσουμε τα ύψη του τριγώνου.Για το ύψος από το A θα ισχύει

x+k \geq   \upsilon _{ \alpha } \Rightarrow  \alpha x+ \alpha k  \geq  \alpha \upsilon _{ \alpha } =2(ABC)= \alpha k+bm+cn \Rightarrow   \alpha x  \geq bm+cn (1)

Για την εμφάνιση του όρου m+n , πρέπει να βρούμε ανισότητα ίδιας φοράς με την (1) που το δεύτερο

μέλος της να είναι cm+bn και να τις προσθέσουμε

Έστω S, συμμετρικό του P ως προς τη διχοτόμο της γωνίας A

Αν ST \bot AB, SQ \bot AC ,θα έχουμε \angle TAS= \angle PAE άρα και \angle SAQ= \angle PZA

Τότε, \triangle ATS= \triangle APE και \triangle ASQ= \triangle APZ ,οπότε ST=m,SQ=n

Εργαζόμενοι όμοια για το σημείο S παίρνουμε  \alpha x  \geq cm+bn (2) και προσθέτοντας τις

(1),(2) παίρνουμε 2\alpha x   \geq (b+c)(m+n)

Αν εργαστούμε ανάλογα για τα άλλα δυο ύψη και θεωρώντας τα συμμετρικά του P

ως προς τις διχοτόμους από τα B,C παίρνουμε

 2by \geq ( \alpha+c) (k+n) και  2cz \geq (a+b)(k+m)

Άρα με πολ/σμό

8abcxyz \geq (b+c)(a+c)(a+b)(m+n)(n+k)(k+m) \geq 2 \sqrt{bc}.2 \sqrt{ac}.2 \sqrt{ab}(m+n)(n+k)(k+m)

Τελικά xyz\geq (m+n)(n+k)(k+m)

(Είχα εργαστεί με παρόμοιο τρόπο σε παλιά ανάρτηση αλλά δεν την βρήκα)
Ανισότητα.png
Ανισότητα.png (26.22 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης