Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Η

είναι οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , το

είναι ο βόρειος πόλος και το

σημείο του ,

ώστε : NL=r

. Από σημείο

του νότιου ημικυκλίου , φέρω τις SN , SL

, οι οποίες τέμνουν

την διάμετρο , στα σημεία P ,T

. Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 15, 2021 7:56 am
Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου.pngΗ είναι οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , το είναι ο βόρειος πόλος και το σημείο του ,

ώστε : . Από σημείο του νότιου ημικυκλίου , φέρω τις , οι οποίες τέμνουν

την διάμετρο , στα σημεία . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

οπότε $\displaystyle N(0,r),L\left( {\frac{{r\sqrt 3 }}{2},\frac{r}{2}} \right)$ και θέτω $\displaystyle S\left( {x, - \sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)$ (*)

: Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

Συνοπτικά (λόγω φακέλου), βρήκα $\displaystyle P\left( {\frac{{xr}}{{r + \sqrt {{r^2} - {x^2}} }},0} \right),T\left( {\frac{{r(x + \sqrt {3{r^2} - 3{x^2}} })}{{r + 2\sqrt {{r^2} - {x^2}} }},0} \right),$ οπότε είναι

$\displaystyle PT = r\left( {\frac{{x + \sqrt {3{r^2} - 3{x^2}} }}{{r + 2\sqrt {{r^2} - {x^2}} }} - \frac{x}{{r + \sqrt {{r^2} - {x^2}} }}} \right).$ Με παραγώγους τώρα παίρνω

$\boxed{ P{T_{\max }} = 2r\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}$ όταν $\boxed{ x = - \frac{{r\sqrt 3 }}{3}}$

(*)

Πήρα το

βορειοανατολικά, οπότε το

έπεσε νοτιοδυτικά.

Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου

Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος διαμέτρου

Μέλη σε σύνδεση