Πλεονεξία υπό όρους

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12735
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πλεονεξία υπό όρους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 06, 2021 9:10 am

Πλεονεξία  υπό  όρους.png
Πλεονεξία υπό όρους.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Σε κύκλο (O , r) να εγγραφεί το μεγίστου εμβαδού τρίγωνο ABC , στο οποίο να είναι AC=2AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πλεονεξία υπό όρους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 06, 2021 11:11 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 06, 2021 9:10 am
Πλεονεξία υπό όρους.pngΣε κύκλο (O , r) να εγγραφεί το μεγίστου εμβαδού τρίγωνο ABC , στο οποίο να είναι AC=2AB .
Προφανώς c\le r. Αρκεί να υπολογίσω το τμήμα \displaystyle BC = a. Το A είναι το σημείο τομής

του κύκλου (O, r) με τον Απολλώνιο, για τα σημεία M του οποίου, ισχύει \displaystyle \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{1}{2}.
Πλεονεξία υπό όρους.png
Πλεονεξία υπό όρους.png (16.24 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
\displaystyle  \bullet \displaystyle \sin A = \frac{a}{{2r}} \Leftrightarrow \cos A = \frac{{\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{{2r}},a \le 2r

\displaystyle  \bullet Νόμος συνημιτόνου, \displaystyle {a^2} = 5{c^2} - 2{c^2}\frac{{\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{r} \Leftrightarrow \boxed{{c^2} = \frac{{{a^2}r}}{{5 - 2\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}} (1)

\displaystyle (ABC) = \frac{{a{c^2}}}{{2r}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{(ABC)  = \frac{{{a^3}}}{{10 - 4\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}} όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι για

\boxed{ a = \frac{r}{4}\sqrt {\frac{{15\sqrt {97}  - 33}}{2}} } παρουσιάζει μέγιστη τιμή ίση με \boxed{ {(ABC)_{\max }} = \frac{{3{r^2}}}{{64}}\sqrt {\frac{3}{2}\left( {485\sqrt {97}  - 4523} \right)}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης