Πλεονεξία υπό όρους

KARKAR · #1

: Πλεονεξία υπό όρους.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές

Σε κύκλο

να εγγραφεί το μεγίστου εμβαδού τρίγωνο ABC

, στο οποίο να είναι AC=2AB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 06, 2021 9:10 am
Πλεονεξία υπό όρους.pngΣε κύκλο να εγγραφεί το μεγίστου εμβαδού τρίγωνο , στο οποίο να είναι .

Προφανώς $c\le r.$ Αρκεί να υπολογίσω το τμήμα $\displaystyle BC = a.$ Το

είναι το σημείο τομής

του κύκλου (O, r)

με τον Απολλώνιο, για τα σημεία

του οποίου, ισχύει $\displaystyle \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{1}{2}.$

: Πλεονεξία υπό όρους.png (16.24 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \sin A = \frac{a}{{2r}} \Leftrightarrow \cos A = \frac{{\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{{2r}},a \le 2r$

$\displaystyle \bullet$ Νόμος συνημιτόνου, $\displaystyle {a^2} = 5{c^2} - 2{c^2}\frac{{\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}{r} \Leftrightarrow$ $\boxed{{c^2} = \frac{{{a^2}r}}{{5 - 2\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}}$ (1)

$\displaystyle (ABC) = \frac{{a{c^2}}}{{2r}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{(ABC) = \frac{{{a^3}}}{{10 - 4\sqrt {4{r^2} - {a^2}} }}}$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι για

$\boxed{ a = \frac{r}{4}\sqrt {\frac{{15\sqrt {97} - 33}}{2}} }$ παρουσιάζει μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{ {(ABC)_{\max }} = \frac{{3{r^2}}}{{64}}\sqrt {\frac{3}{2}\left( {485\sqrt {97} - 4523} \right)}}$

Πλεονεξία υπό όρους

Πλεονεξία υπό όρους

Re: Πλεονεξία υπό όρους

Μέλη σε σύνδεση