Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Συντονιστής: gbaloglou
Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.
Πρόβλημα: Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;
Δηλαδή ζητάμε καμπύλες πάνω στην σφαίρα ώστε
σταθερά για κάθε .
Σκέψεις:
Γνωρίζουμε ότι σταθερή, όπου είναι η γωνία μεταξύ του μοναδιαίου διανύσματος της σφαίρας και του κύριου κάθετου διανύσματος και η καμπυλότητα της καμπύλης, (καθώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι η καμπύλη είναι παραμετροποιημένη ως προς μήκος τόξου). Επιπλέον είναι .
Πως θα δείξουμε ότι το γινόμενο σταθερό ; (έχουμε αυτή την πεποίθηση) ώστε να συμπαιράνουμε ότι
σταθερό, και ύστερα πως δείχνουμε ότι ;
Δηλαδή η απάντηση στο πρόβλημα ισχυριζόμαστε ότι είναι:
Ισχυρισμός: Είναι όλοι οι κύκλοι.
Βοηθήστε με για την επίλυση του προβλήματος, ευχαριστώ.
Πρόβλημα: Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;
Δηλαδή ζητάμε καμπύλες πάνω στην σφαίρα ώστε
σταθερά για κάθε .
Σκέψεις:
Γνωρίζουμε ότι σταθερή, όπου είναι η γωνία μεταξύ του μοναδιαίου διανύσματος της σφαίρας και του κύριου κάθετου διανύσματος και η καμπυλότητα της καμπύλης, (καθώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι η καμπύλη είναι παραμετροποιημένη ως προς μήκος τόξου). Επιπλέον είναι .
Πως θα δείξουμε ότι το γινόμενο σταθερό ; (έχουμε αυτή την πεποίθηση) ώστε να συμπαιράνουμε ότι
σταθερό, και ύστερα πως δείχνουμε ότι ;
Δηλαδή η απάντηση στο πρόβλημα ισχυριζόμαστε ότι είναι:
Ισχυρισμός: Είναι όλοι οι κύκλοι.
Βοηθήστε με για την επίλυση του προβλήματος, ευχαριστώ.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Καλημέρα. Γράψε ποιο είναι το για κάθε και ποιο είναι το διάνυσμα και προσπάθησε να υπολογίσεις το εσωτερικό γινόμενο
.
.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Έχω βρει ότι , εκτός και εάν εννοείται κάτι διαφορετικό.
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Καλησπέρα. Εννοούσα να το αναπτύξεις στην αλγεβρική του μορφή δηλ.
.
.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Μήπως μπορείτε να βοηθήσετε περισσότερο για την επίλυση. Υπάρχει κάποια πηγή την οποία μπορώ να συμβουλευτώ για την λύση της ;
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Καλημέρα. Δες εδώ http://users.uoi.gr/tvlachos/teaching/i ... f-gewm.pdf σελ. 50.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Βαγγέλη πολύ καλή πηγή σε ευχαριστώ πολύ.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Ευχαριστώ πολύ. Θα το κοιτάξω και αν καταφέρω και το λύσω θα αναρτήσω τη λύση, διαφορετικά αν μου δημιουργηθεί κάποια απορία θα σας ρωτήσω.BAGGP93 έγραψε: ↑Δευ Απρ 19, 2021 10:57 amΚαλημέρα. Δες εδώ http://users.uoi.gr/tvlachos/teaching/i ... f-gewm.pdf σελ. 50.
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Ισχυρισμός : Η καμπυλότητα της καμπύλης είναι σταθερή.
Καθώς αν αποδειχθεί αυτό, τότε η καμπύλη θα είναι κύκλος.
Δηλαδή έχουμε ως δεδομένο μια καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε μια σφαίρα με σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα , αν δείξουμε ότι από αυτά τα δεδομένα συνεπάγεται πως η καμπύλη έχει σταθερή καμπυλότητα . Τότε η καμπύλη είναι κύκλος.
Πως αποδεικνύεται ο παραπάνω ισχυρισμός ;
Υπάρχει και εναλλακτική λύση ;
Καθώς αν αποδειχθεί αυτό, τότε η καμπύλη θα είναι κύκλος.
Δηλαδή έχουμε ως δεδομένο μια καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε μια σφαίρα με σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα , αν δείξουμε ότι από αυτά τα δεδομένα συνεπάγεται πως η καμπύλη έχει σταθερή καμπυλότητα . Τότε η καμπύλη είναι κύκλος.
Πως αποδεικνύεται ο παραπάνω ισχυρισμός ;
Υπάρχει και εναλλακτική λύση ;
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Θα ήθελα αν γίνεται να αναρτήσει κάποιος την αναλυτική λύση του προβλήματος που παραθέτω παραπάνω, ευχαριστώ πολύ.
Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα
Λύση
Γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητα και η μέση καμπυλότητα της σφαίρας ισούται με και , αντίστοιχα, όπου έχουμε κύριες καμπυλότητες και άρα η κάθετη καμπυλότητα είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα και είναι ίση με . Στη συνέχεια από τη σχέση , προκύπτει ότι η καμπυλότητα είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα. Έπειτα επειδή και με διαδοχικές παραγωγίσεις ως προς βρίσκουμε ότι η στρέψη της καμπύλης ισούται με . Οπότε η καμπύλη έχει σταθερή καμπυλότητα και μηδενική στρέψη παντού, άρα η καμπύλη είναι επίπεδος κύκλος.
Γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητα και η μέση καμπυλότητα της σφαίρας ισούται με και , αντίστοιχα, όπου έχουμε κύριες καμπυλότητες και άρα η κάθετη καμπυλότητα είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα και είναι ίση με . Στη συνέχεια από τη σχέση , προκύπτει ότι η καμπυλότητα είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα. Έπειτα επειδή και με διαδοχικές παραγωγίσεις ως προς βρίσκουμε ότι η στρέψη της καμπύλης ισούται με . Οπότε η καμπύλη έχει σταθερή καμπυλότητα και μηδενική στρέψη παντού, άρα η καμπύλη είναι επίπεδος κύκλος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες