Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Συντονιστής: gbaloglou

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Σάβ Απρ 17, 2021 11:06 am

Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.

Πρόβλημα: Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;

Δηλαδή ζητάμε καμπύλες \displaystyle{\gamma : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{S}_{R}^{2}} πάνω στην σφαίρα \displaystyle{\mathbb{S}_{R}^{2} =  \big \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \big \}} ώστε
\displaystyle{\kappa_{g}(t) =}σταθερά για κάθε \displaystyle{t \in I}.

Σκέψεις:
Γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\kappa_{g} = \pm \kappa \sin{\psi} =} σταθερή, όπου \displaystyle{\psi} είναι η γωνία μεταξύ του μοναδιαίου διανύσματος της σφαίρας \displaystyle{\bold{N}} και του κύριου κάθετου διανύσματος \displaystyle{\bold{N}_{\gamma}} και \displaystyle{\kappa} η καμπυλότητα της καμπύλης, \displaystyle{| | \gamma '' (t) || = \kappa(t)}(καθώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι η καμπύλη είναι παραμετροποιημένη ως προς μήκος τόξου). Επιπλέον είναι \displaystyle{\bold{N} \cdot \bold{N}_{\gamma} = \cos{\psi}}.

Πως θα δείξουμε ότι το γινόμενο \displaystyle{\kappa_{n} = \kappa \cos{\psi} =} σταθερό ; (έχουμε αυτή την πεποίθηση) ώστε να συμπαιράνουμε ότι
\displaystyle{\kappa = \sqrt{\kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2}} =} σταθερό, και ύστερα πως δείχνουμε ότι \displaystyle{\tau = 0} ;

Δηλαδή η απάντηση στο πρόβλημα ισχυριζόμαστε ότι είναι:
Ισχυρισμός: Είναι όλοι οι κύκλοι.

Βοηθήστε με για την επίλυση του προβλήματος, ευχαριστώ.



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Απρ 17, 2021 11:51 am

Καλημέρα. Γράψε ποιο είναι το N(s) για κάθε s\in I και ποιο είναι το διάνυσμα N_{\gamma} και προσπάθησε να υπολογίσεις το εσωτερικό γινόμενο

\langle{N(s),N_{\gamma}(s)\rangle}\,,s\in I.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Σάβ Απρ 17, 2021 12:33 pm

\rightarrow \langle{N(s),N_{\gamma}(s)\rangle}\,,s\in I \leftarrow

Έχω βρει ότι \displaystyle{< N , N_{\gamma} > = N \cdot N_{\gamma} = \cos{\psi}}, εκτός και εάν εννοείται κάτι διαφορετικό.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Απρ 17, 2021 9:20 pm

Καλησπέρα. Εννοούσα να το αναπτύξεις στην αλγεβρική του μορφή δηλ.

\langle{(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle}=x_1\,x_2+y_1\,y_2+z_1\,z_2.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Δευ Απρ 19, 2021 9:20 am

Μήπως μπορείτε να βοηθήσετε περισσότερο για την επίλυση. Υπάρχει κάποια πηγή την οποία μπορώ να συμβουλευτώ για την λύση της ;


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Δευ Απρ 19, 2021 10:57 am

Καλημέρα. Δες εδώ http://users.uoi.gr/tvlachos/teaching/i ... f-gewm.pdf σελ. 50.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1931
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Απρ 19, 2021 11:13 am

Βαγγέλη πολύ καλή πηγή σε ευχαριστώ πολύ.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Απρ 20, 2021 11:02 am

BAGGP93 έγραψε:
Δευ Απρ 19, 2021 10:57 am
Καλημέρα. Δες εδώ http://users.uoi.gr/tvlachos/teaching/i ... f-gewm.pdf σελ. 50.
Ευχαριστώ πολύ. Θα το κοιτάξω και αν καταφέρω και το λύσω θα αναρτήσω τη λύση, διαφορετικά αν μου δημιουργηθεί κάποια απορία θα σας ρωτήσω.


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Απρ 20, 2021 12:31 pm

Ισχυρισμός : Η καμπυλότητα \displaystyle{\kappa} της καμπύλης \displaystyle{\boldsymbol{\gamma}} είναι σταθερή.
Καθώς αν αποδειχθεί αυτό, τότε η καμπύλη \displaystyle{\boldsymbol{\gamma}} θα είναι κύκλος.

Δηλαδή έχουμε ως δεδομένο μια καμπύλη \displaystyle{\boldsymbol{\gamma}} που βρίσκεται πάνω σε μια σφαίρα με σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα \displaystyle{\kappa_{g}}, αν δείξουμε ότι από αυτά τα δεδομένα συνεπάγεται πως η καμπύλη \displaystyle{\boldsymbol{\gamma}} έχει σταθερή καμπυλότητα \displaystyle{\kappa}. Τότε η καμπύλη είναι κύκλος.

Πως αποδεικνύεται ο παραπάνω ισχυρισμός ;

Υπάρχει και εναλλακτική λύση ;


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Απρ 21, 2021 12:23 pm

Θα ήθελα αν γίνεται να αναρτήσει κάποιος την αναλυτική λύση του προβλήματος που παραθέτω παραπάνω, ευχαριστώ πολύ.


TrItOs
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τρί Μάιος 04, 2021 4:56 pm

Λύση
Γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητα \displaystyle{Gauss} και η μέση καμπυλότητα της σφαίρας \displaystyle{\mathbb{S}_{a, R}^{2} = \Big \{ \big( x, y, z \big) \in \mathbb{R}^{3} : \big( x - \alpha_{1} \big)^{2} + \big( y - \alpha_{2} \big)^{2} + \big( z - \alpha_{3} \big)^{2} = R^{2} \Big \} } ισούται με \displaystyle{K = \frac{1}{R^{2}}} και \displaystyle{H = \frac{1}{R^{2}}}, αντίστοιχα, όπου έχουμε κύριες καμπυλότητες \displaystyle{\kappa_{1} = \kappa_{2} = \frac{1}{R}}} και άρα η κάθετη καμπυλότητα είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα και είναι ίση με \displaystyle{\kappa_{n} = \frac{1}{R}}}}. Στη συνέχεια από τη σχέση \displaystyle{\kappa^{2} = \kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2}}, προκύπτει ότι η καμπυλότητα \displaystyle{\kappa} είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα. Έπειτα επειδή \displaystyle{\boldsymbol{< \big( \gamma}(t) - ( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} ) \big) , \big( \gamma}(t) - ( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} ) \big) > = R^{2}} και με διαδοχικές παραγωγίσεις ως προς \displaystyle{t} βρίσκουμε ότι η στρέψη της καμπύλης ισούται με \displaystyle{\tau = 0}. Οπότε η καμπύλη \displaystyle{\boldsymbol{\gamma}} έχει σταθερή καμπυλότητα \displaystyle{\kappa} και μηδενική στρέψη \displaystyle{\tau = 0} παντού, άρα η καμπύλη \displaystyle{\boldsymbol{\gamma}} είναι επίπεδος κύκλος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης