Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 05, 2021 6:34 pm

Μόλις μου την έστειλαν και τη γράφω. Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα. (Το μόνο που έχω ελέγξει είναι την ισότητα για το ισόπλευρο).
Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε....png
Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε....png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές
Τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O και ακτίνας R=1. Οι εφαπτόμενες του

κύκλου στα σημεία A, B, C τέμνουν τις μεσοκάθετες των BC, CA, AB στα K, L, M αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

\displaystyle O{H^3} + 3HA \cdot HB \cdot HC + 1 \ge \frac{4}{{OK \cdot OL \cdot OM}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 27, 2021 10:47 am

Για το γινόμενο

cos(A-B)coc(B-C)cos(C-A)

γενικά, γνωρίζουμε κάτι;


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 27, 2021 5:45 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 6:34 pm
Μόλις μου την έστειλαν και τη γράφω. Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα. (Το μόνο που έχω ελέγξει είναι την ισότητα για το ισόπλευρο). Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε....png
Τρίγωνο ABC με ορθόκεντρο H είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O και ακτίνας R=1. Οι εφαπτόμενες του

κύκλου στα σημεία A, B, C τέμνουν τις μεσοκάθετες των BC, CA, AB στα K, L, M αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

\displaystyle O{H^3} + 3HA \cdot HB \cdot HC + 1 \ge \frac{4}{{OK \cdot OL \cdot OM}}
Γεια σου Κώστα!

Σ' ευχαριστώ που ασχολήθηκες με το θέμα. Δεν σου κρύβω ότι από την αρχή ήσουν ο στόχος μου. Έχω καταλάβει

πως σου αρέσει να ασχολείσαι με τα "περίεργα" θέματα :lol: . Μήπως κατέληξες στην παρακάτω αποδεικτέα σχέση;

(1-8\cos{A}\cos{B}\cos{C})^{\frac{3}{2}}+24\cos{A}\cos{B}\cos{C}+1\geq{4 \cos{(B-C)} \cos{(C-A)} \cos{(A-B)}}




ΥΓ. Έλεγξα μόνο το οξυγώνιο τρίγωνο και είδα ότι για R=1, ισχύουν:

O{H^2} = 9 - ({a^2} + {b^2} + {c^2}),HA \cdot HB \cdot HC = 8\cos A\cos B\cos C

και \dfrac{1}{{OK \cdot OL \cdot OM}} = \cos (B - C)\cos (A - C)\cos (A - B).


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 27, 2021 8:05 pm

Γιώργο δεν παίζεσαι!! :first:

Λοιπόν έφτασα εκεί που λες! Δούλεψα αυτό το γινόμενο. Έβγαλα διαφορά ωραία και όμορφα αποτελέσματα! (Πολύ χαρτί!!) Αλλά δεν βλέπω με αυτά, προς το παρόν, λύση. 😎


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 30, 2021 4:24 pm

Κώστα γεια σου και πάλι!


Για την ιστορία την άσκηση μου την έστειλε με πμ στο AOPS ένας Ρουμάνος μαθητής. Τον καθοδήγησα όσο μπορούσα, αλλά

απέφυγα να κάνω όλες αυτές τις πράξεις, πιστεύοντας ότι δεν θα το έκανε ούτε κι εκείνος. Η όλη διαδικασία είχε ως εξής:

Για \displaystyle \cos A\cos B\cos C = X,\cos (A - B)\cos (B - C)\cos (C - A) = Y, αρκεί να δειχτεί ότι:

\displaystyle {\left( {1 - 8X} \right)^3} - {\left( {4Y - 24X - 1} \right)^2} \ge 0

Θέτοντας \displaystyle \tan \frac{A}{2} = x,\tan \frac{B}{2} = y,\tan \frac{C}{2} = z, υπολογίζοντας τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών του

τριγώνου συναρτήσει των x, y, z και αντικαθιστώντας στην αποδεικτέα σχέση, θα έπρεπε να έχουμε αποτέλεσμα.

Δηλαδή, πιάσ' τ' αυγό και κούρεφτο!

Τελικά ο μαθητής αποδείχτηκε πολύ πιο τολμηρός και πεισματάρης :shock: απ’ ότι περίμενα και το απέδειξε. Μου έστειλε το

αποτέλεσμα. Το πρώτο μέλος της αποδεικτέας σχέσης γράφεται:


\displaystyle \frac{{1024{{(x - y)}^2}{{(y - z)}^2}{{(x - z)}^2}{{(1 + xy)}^2}{{(1 + yz)}^2}{{(1 + xz)}^2}}}{{{{(x + y)}^2}{{(y + z)}^2}{{(x + z)}^2}}} \ge 0

Δεν μπήκα καν στον κόπο να το ελέγξω! Απλώς αρκέστηκα στο λόγο του :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες