Περίκεντρο - βαρύκεντρο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περίκεντρο - βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 22, 2021 12:21 pm

Περίκεντρο - βαρύκεντρο.png
Περίκεντρο - βαρύκεντρο.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει πλευρές : AB=x, AC=x+1 , BC= x+2 , περίκεντρο O και βαρύκεντρο G .

Καθώς το x αυξάνει απεριόριστα το τρίγωνο τείνει να γίνει ισόπλευρο , άρα το τμήμα OG συνεχώς μικραίνει .

Θα περίμενε κανείς το μήκος του OG να τείνει στο μηδέν . Φαίνεται όμως , ότι τείνει στο \dfrac{2}{3} :?:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίκεντρο - βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 22, 2021 1:30 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 22, 2021 12:21 pm
Περίκεντρο - βαρύκεντρο.pngΤο τρίγωνο ABC έχει πλευρές : AB=x, AC=x+1 , BC= x+2 , περίκεντρο O και βαρύκεντρο G .

Καθώς το x αυξάνει απεριόριστα το τρίγωνο τείνει να γίνει ισόπλευρο , άρα το τμήμα OG συνεχώς μικραίνει .

Θα περίμενε κανείς το μήκος του OG να τείνει στο μηδέν . Φαίνεται όμως , ότι τείνει στο \dfrac{2}{3} :?:
Από το θεώρημα \displaystyle {\rm{Leibniz}}, \displaystyle O{G^2} = {R^2} - \frac{1}{9}({a^2} + {b^2} + {c^2}).

Υπολογίζοντας με δύο τρόπους το εμβαδόν τριγώνου, προκύπτει \displaystyle \frac{{x(x + 2)}}{R} = \sqrt {3({x^2} + 2x - 3)} και τελικά:

\displaystyle OG = \sqrt {\frac{{4({x^2} + 2x + 3.75)}}{{9({x^2} + 2x - 3)}}}  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } OG = \frac{2}{3}

Με νόμο συνημιτόνου διαπιστώνουμε ότι καμία γωνία του δεν μπορεί να είναι 60^\circ.



Ελπίζω να μην έχουν γίνει λάθη σε πράξεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης