Μέγιστο εμβαδόν 38

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 38.png (9.01 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Η χορδή

κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο AB=2r

ενός ημικυκλίου .

Επί της

θεωρώ σημείο

, ώστε :

. Υπολογίστε το μέγιστο του (SCD)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 10:11 am
Η χορδή κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο ενός ημικυκλίου .

Επί της θεωρώ σημείο , ώστε : . Υπολογίστε το μέγιστο του .

Φέρνουμε την κάθετο CE=x

και την

στην

. Tα ορθογώνια τρίγωνα ACE, ASF

είναι ίσα γιατι έχουν ίσες υποτείνουσες και $\angle C= \angle CBA=\angle CDA =\angle DAE$ . Άρα AE=SE=y

. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ACB

με υποτείνουσα

και ύψος

βρίσκουμε (άμεσο)
$y=AE=R-\sqrt {R^2-x^2}$ .

Τώρα, το τρίγωνο SCD

έχει βάση $CD= 2\sqrt {R^2-x^2}$ και ύψος $CE-SF=x-y=x- R+\sqrt {R^2-x^2}$ και άρα εμβαδον

$\displaystyle{(SCD)=\sqrt {R^2-x^2}(x- R+\sqrt {R^2-x^2})}$

Για το μέγιστο παραγωγίζουμε. Οδηγεί σε τριτοβάθμια με μία θετική και δύο αρνητικές ρίζες. Δεν την έλυσα αφού είναι άμεσο αλλά επίπονο, ωστόσο με λογισμικό βρήκα ότι έχει ριζα x=0,5622851345R

. Και λοιπά... πλην πράξεων.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 10:11 am
Μέγιστο εμβαδόν 38.pngΗ χορδή κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο ενός ημικυκλίου .

Επί της θεωρώ σημείο , ώστε : . Υπολογίστε το μέγιστο του .

Με οδηγό το σχήμα (περισσότερες λεπτομέρειες αργότερα).

: Μέγιστο εμβαδόν.38.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Βρίσκω $\displaystyle (SCD) = \frac{1}{{4{r^2}}}\left( {x(2{r^2} - {x^2})(\sqrt {4{r^2} - {x^2}} - x)} \right)$

Ούτε εγώ δεν προχώρησα, αλλά με λογισμικό βρήκα $\displaystyle {(SCD)_{\max }} \simeq 0,321875{r^2}$

Ενδέχεται να υπάρχει κάποιο τυπογραφικό, αλλά είναι πολύ επίπονο να το ελέγξω.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 11:25 am
Ούτε εγώ δεν προχώρησα, αλλά με λογισμικό βρήκα $\displaystyle {(SCD)_{\max }} \simeq 0,321875{r^2}$

Ενδέχεται να υπάρχει κάποιο τυπογραφικό, αλλά είναι πολύ επίπονο να το ελέγξω.

Γιώργο, συμφωνούμε, τουλάχιστον κατά το λογισμικό μέχρι πολλά δεκαδικά ψηφία.

Υπόψη παραπάνω δεν έγραψα την τιμή του μεγίστου αλλά την τιμή της μεταβλητής όπου λαμβάνεται το μέγιστο. Βάζοντας πίσω στην παράσταση που έχω την τιμή αυτή, βρίσκω το αποτέλεσμά σου.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 11:59 am

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 11:25 am
Ούτε εγώ δεν προχώρησα, αλλά με λογισμικό βρήκα $\displaystyle {(SCD)_{\max }} \simeq 0,321875{r^2}$

Ενδέχεται να υπάρχει κάποιο τυπογραφικό, αλλά είναι πολύ επίπονο να το ελέγξω.
Γιώργο, συμφωνούμε, τουλάχιστον κατά το λογισμικό μέχρι πολλά δεκαδικά ψηφία.

Υπόψη παραπάνω δεν έγραψα την τιμή του μεγίστου αλλά την τιμή της μεταβλητής όπου λαμβάνεται το μέγιστο. Βάζοντας πίσω στην παράσταση που έχω την τιμή αυτή, βρίσκω το αποτέλεσμά σου.

Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για την επιβεβαίωση!

#6

Ας γράψω κάποια λόγια για τον υπολογισμό του εμβαδού.

: Μέγιστο εμβαδόν.38.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

$\displaystyle (SCD) = \frac{1}{2}CD \cdot SD\sin \omega = \frac{1}{2}CD \cdot SD \cdot \frac{x}{{2r}}$

$\displaystyle SD = AD - x = \sqrt {4{r^2} - {x^2}} - x,$ ενώ το

υπολογίζεται με νόμο συνημιτόνου στο ADC

όπου

$\displaystyle \cos \theta = \cos (\varphi - \omega ) = \frac{{2xAD}}{{4{r^2}}} = \frac{{x\sqrt {4{r^2} - {x^2}} }}{{2{r^2}}}$ και $\displaystyle CD = \frac{{2{r^2} - {x^2}}}{r},$ απ' όπου προκύπτει και ο

τελικός τύπος: $\boxed{ (SCD) = \frac{1}{{4{r^2}}}\left( {x(2{r^2} - {x^2})(\sqrt {4{r^2} - {x^2}} - x)} \right)}$

Τα υπόλοιπα είναι θέμα λογισμικού.

Μέγιστο εμβαδόν 38

Μέγιστο εμβαδόν 38

Re: Μέγιστο εμβαδόν 38

Re: Μέγιστο εμβαδόν 38

Re: Μέγιστο εμβαδόν 38

Re: Μέγιστο εμβαδόν 38

Re: Μέγιστο εμβαδόν 38

Μέλη σε σύνδεση