Εντυπωσιακή σταθερότητα

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εντυπωσιακή σταθερότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 29, 2020 1:55 pm

Το G είναι το βαρύκεντρο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a. Το σημείο M κινείται σε σταθερό κύκλο

κέντρου G και ακτίνας d. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές τα τμήματα MA, MB, MC.

Το αποτέλεσμα είναι \displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}|{a^2} - 3{d^2}|, τσεκαρισμένο με geogebra. Ωστόσο, δεν έχω τεκμηριωμένη λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εντυπωσιακή σταθερότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Νοέμ 30, 2020 11:07 pm

Έστω f η γωνία των MG, GA. Θέτω D=d^2+R^2 και B=2dR

Είναι, από νόμο συνημιτόνων: ( στο σχήμα μου έχω το Μ πάνω αριστερά, αλλά δεν παίζει ρόλο)

 MA^2=D-Bcosf, MB^2=D-Bcos(120^o-f), MC^2=D-Bcos(120^o+f)

Από τον τύπο του Ήρωνα, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, το τρίγωνο με πλευρές a=MA, b=MB,c=MC έχει εμβαδόν E με

16E^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

Αντικαθιστούμε, κρατάμε την ψυχραιμία μας και μια κόλλα Α4, και προκύπτει το απλό

16E^2=3D^2-3B^2

Αντικατάσταση των D, B και με δεδομένο ότι 3R^2=a^2 έπεται το ζητούμενο.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εντυπωσιακή σταθερότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 03, 2020 11:05 am

Σ' ευχαριστώ Κώστα για τη λύση :coolspeak:

Με τον ίδιο τρόπο ξεκίνησα κι εγώ, αλλά στη συνέχεια παγιδεύτηκα με τον Leibniz και δεν έβγαλα άκρη.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εντυπωσιακή σταθερότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 04, 2020 12:07 am

Να είσαι καλά Γιώργο!

Να ξεσκουριάζουμε!!


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης