Και πάλι Στερεομετρία(δεύτερη...)

#1

: Στερεομετρία 4β.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Δίνονται στο χώρο τρεις παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(a), (b),(c)}$ οι οποίες τέμνουν ένα επίπεδο $\displaystyle{(Q)}$

αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ .

Στις ευθείες αυτές ορίζουμε αντίστοιχα τα μεταβλητά σημεία $\displaystyle{M,N,P}$ ώστε να ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{k(AM)+l(BN)+m(CP)=w \ \ (1)}$

όπου $\displaystyle{k,l,m}$ δοθέντες θετικοί αριθμοί και $\displaystyle{w}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.

Να δειχθεί ότι το επίπεδο που ορίζουν τα τρία σημεία $\displaystyle{M,N, P}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.

S.E.Louridas · #2

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 9:57 pm
Δίνονται στο χώρο τρεις παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(a), (b),(c)}$ οι οποίες τέμνουν ένα επίπεδο $\displaystyle{(Q)}$
αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ .
Στις ευθείες αυτές ορίζουμε αντίστοιχα τα μεταβλητά σημεία $\displaystyle{M,N,P}$ ώστε να ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{k(AM)+l(BN)+m(CP)=w \ \ (1)}$
όπου $\displaystyle{k,l,m}$ δοθέντες θετικοί αριθμοί και $\displaystyle{w}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
Να δειχθεί ότι το επίπεδο που ορίζουν τα τρία σημεία $\displaystyle{M,N, P}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.

Γειά σου Κώστα.
Μία επί του πιεστηρίου άποψη (με "χειροκίνητη" απεικόνιση):

Από το σχήμα και τα δεδομένα εκεί τελικά παίρνουμε S,ct.

και $\displaystyle{SR = \frac{1}{{k + \ell + m}}w, ct. }$ και λόγω της σταθερής διεύθυνσης της SR,

το σημείο

είναι το σταθερό σημείο από το οποίο διέρχεται το επίπεδο (MNP).

: δορτσιος.png (81.48 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

(*) Εν αναμονή βέβαια της τέλειας απεικόνισης από τον Κώστα Δόρτσιο.

#3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:52 pm

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 9:57 pm
Δίνονται στο χώρο τρεις παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(a), (b),(c)}$ οι οποίες τέμνουν ένα επίπεδο $\displaystyle{(Q)}$
αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ .
Στις ευθείες αυτές ορίζουμε αντίστοιχα τα μεταβλητά σημεία $\displaystyle{M,N,P}$ ώστε να ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{k(AM)+l(BN)+m(CP)=w \ \ (1)}$
όπου $\displaystyle{k,l,m}$ δοθέντες θετικοί αριθμοί και $\displaystyle{w}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
Να δειχθεί ότι το επίπεδο που ορίζουν τα τρία σημεία $\displaystyle{M,N, P}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.
Γειά σου Κώστα.
Μία επί του πιεστηρίου άποψη (με "χειροκίνητη" απεικόνιση):

Από το σχήμα και τα δεδομένα εκεί τελικά παίρνουμε και $\displaystyle{SR = \frac{1}{{k + \ell + m}}w, ct. }$ και λόγω της σταθερής διεύθυνσης της το σημείο είναι το σταθερό σημείο από το οποίο διέρχεται το επίπεδο

(*) Εν αναμονή βέβαια της τέλειας απεικόνισης από τον Κώστα Δόρτσιο.

Σωτήρη γεια σου...

Αναρτώ ένα σχήμα που κατασκευάστηκε σύμφωνα με την ιδέα με την οποία έλυσες την άσκηση αυτή.

Μαζί θέλω να πω κι ακόμα κάτι:

Από τότε που "έμπλεξα" με την ψηφιακή τεχνολογία, από την εποχή των CabriII, Cabri3D, Sketchpad, function Probe, και διαφόρων άλλων,
δεν παύω να απολαμβάνω την ομορφιά της τελειότητας των μαθηματικών. Το ζωντάνεμα (animation) ενός γεωμετρικού περιβάλλοντος καθώς
επίσης και η "πιστοποίηση" της αλήθειας των διαφόρων προτάσεων πάνω σε "πραγματικό" περιβάλλον, έστω και εικονικό, δίνει στον καθένα
που ζητά να δει κάθε φορά το όλο δρώμενο του έργου, να δει τα μεταβαλλόμενα στοιχεία, τα σταθερά και τις μεταξύ των εξαρτήσεις, μια
ιδιαίτερη ευχαρίστηση και μια διδαχή. Πράγματι είναι ένα αξιοθαύμαστο στοιχείο της λεγόμενης νέας τεχνολογίας.

Πιστεύω ακράδαντα στην ωφελιμότητα αυτής στη διδακτική πράξη. Χρειάζεται βέβαια προσοχή και μελέτη για τη χρήση αυτή, όπως ακριβώς
μας δίδαξε η ανθρώπινη ιστορία για ένα σωρό άλλες περιπτώσεις του παρελθόντος.

: Στερεομετρία 4β1.png (15.48 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Για έναν επισκέπτη του ανωτέρω σχήματος ίσως να μην φθάνει μόνον αυτό το στιγμιότυπο, γιατί θα αναρωτηθεί
ποια είναι η σχέση των μεταβλητών στοιχείων με τα αντίστοιχα σταθερά. Αυτό είναι η αδυναμία της στατικής εικόνας.
Όμως αν επισκεφτεί το δυναμικό σχήμα θα μπορέσει να "απολαύσει", να χαρεί το γεγονός ότι παρόλο που μεταβάλλονται
τα τρία σημεία $\displaystyle{M,N,P}$ το μεταβλητό επίπεδο που αυτά ορίζουν διέρχεται από ένα σταθερό σημείο, το σημείο $\displaystyle{T}$ .

Το γιατί συμβαίνει αυτό, το απέδειξες Σωτήρη, το να το κάνω όμως ορατό έστω και για εκείνον που στερείται φαντασίας
είναι σημαντικό. Σημαντικό και για το δάσκαλο των μαθηματικών. Αυτά πιστεύω....

Αναρτώ και το δυναμικό αρχείο:

Στερεομετρία 4β21.ggb: (20.97 KiB) Μεταφορτώθηκε 25 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Και πάλι Στερεομετρία(δεύτερη...)

Και πάλι Στερεομετρία(δεύτερη...)

Re: Και πάλι Στερεομετρία(δεύτερη...)

Re: Και πάλι Στερεομετρία(δεύτερη...)

Μέλη σε σύνδεση