Μέγιστη περίμετρος

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12146
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη περίμετρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:54 pm

Μέγιστη  περίμετρος.png
Μέγιστη περίμετρος.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές
Θεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό

τριγώνου ABC , υπάρχει σημείο O , τέτοιο ώστε : OA=4 , OB=2 , OC=3 .

Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10018
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη περίμετρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:54 pm
Μέγιστη περίμετρος.pngΘεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό

τριγώνου ABC , υπάρχει σημείο O , τέτοιο ώστε : OA=4 , OB=2 , OC=3 .

Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο .
Μεγ.Περ..png
Μεγ.Περ..png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές


Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το S είναι έγκεντρο του τριγώνου. Σε αυτή την περίπτωση η ακτίνα

του εγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από την εξίσωση \displaystyle {r^3} + 61{r^2} - 144 = 0 που είναι \displaystyle r \simeq 1,36424 και η μέγιστη

περίμετρος είναι \displaystyle {P_{\max }} = 2\left( {\sqrt {4 - {r^2}}  + \sqrt {9 - {r^2}}  + \sqrt {16 - {r^2}} } \right) \simeq 15,78902


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2881
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 26, 2020 8:56 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:54 pm
Μέγιστη περίμετρος.pngΘεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό

τριγώνου ABC , υπάρχει σημείο O , τέτοιο ώστε : OA=4 , OB=2 , OC=3 .

Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο .

Μεγ.Περ..png



Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το S είναι έγκεντρο του τριγώνου. Σε αυτή την περίπτωση η ακτίνα

του εγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από την εξίσωση \displaystyle {r^3} + 61{r^2} - 144 = 0 που είναι \displaystyle r \simeq 1,36424 και η μέγιστη

περίμετρος είναι \displaystyle {P_{\max }} = 2\left( {\sqrt {4 - {r^2}}  + \sqrt {9 - {r^2}}  + \sqrt {16 - {r^2}} } \right) \simeq 15,78902


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2881
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 27, 2020 11:53 am

Γενικότερα, δοθέντων των |SA|, |SB|, |SC|, η περίμετρος του ABC μεγιστοποιείται ακριβώς όταν

\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|},

\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}=\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|},

\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|}=\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}.

[Αυτό προκύπτει με χρήση Λογισμού δύο μεταβλητών, θα παραθέσω λεπτομέρειες αργότερα, ειδικά αν δεν παρουσιαστεί κάποια γεωμετρική λύση.]

Η παραπάνω τριάδα σχέσεων 'οφείλει' να είναι ισοδύναμη προς την ταύτιση του έγκεντρου του ABC με το S, ας δούμε αργότερα γιατί και πως...


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2881
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 27, 2020 10:54 pm

Ένας άλλος τρόπος να δούμε αυτήν την υπέροχη εικασία: η κόκκινη περίμετρος είναι μικρότερη από την πράσινη ;)


εγκεντροπεριμετρικώς.png
εγκεντροπεριμετρικώς.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2881
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Νοέμ 28, 2020 12:36 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Νοέμ 27, 2020 11:53 am
Γενικότερα, δοθέντων των |SA|, |SB|, |SC|, η περίμετρος του ABC μεγιστοποιείται ακριβώς όταν

\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|},

\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}=\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|},

\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|}=\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}.

[Αυτό προκύπτει με χρήση Λογισμού δύο μεταβλητών, θα παραθέσω λεπτομέρειες αργότερα, ειδικά αν δεν παρουσιαστεί κάποια γεωμετρική λύση.]

Η παραπάνω τριάδα σχέσεων 'οφείλει' να είναι ισοδύναμη προς την ταύτιση του έγκεντρου του ABC με το S, ας δούμε αργότερα γιατί και πως...
Πράγματι, το μεν ευθύ είναι σχεδόν άμεσο από τις \widehat {SAB}=\widehat {SAC}, \widehat {SBA}=\widehat {SBC}, \widehat {SCB}=\widehat {SCA} και \widehat {ASB}=90^0+\gamma /2, \widehat {BSC}=90^0+\alpha /2, \widehat {CSA}=90^0+\beta /2 (με εφαρμογή του Νόμου Ημιτόνων), το δε αντίστροφο προκύπτει από εφαρμογές του Νόμου Ημιτόνων στα τρίγωνα ASB, BSC, CSA ανά δύο, πχ από τις sin\widehat {SBC}=\dfrac{|SC|}{|BC|}sin\widehat {BSC} και sin\widehat {SBA}=\dfrac{|SA|}{|AB|}sin\widehat {ASB} προκύπτει η sin\widehat {SBC}=sin\widehat {SBA} λόγω της \dfrac{|SC|}{|BC|}sin\widehat {BSC}=\dfrac{|SA|}{|AB|}sin\widehat {ASB} (τρίτη σχέση παραπάνω).

Ας δούμε τώρα και πως προκύπτουν -- μέσω Λογισμού δύο μεταβλητών -- οι παραπάνω τρεις σχέσεις, η \dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|} για παράδειγμα. Θέτοντας \widehat{BSC}=x και \widehat{CSA}=y, εκφράζουμε -- με χρήση του Νόμου Συνημιτόνων -- την περίμετρο του ABC ως

f(x,y)=\sqrt{q^2+r^2-2qrcosx}+\sqrt{p^2+r^2-2prcosy}+\sqrt{p^2+q^2-2pqcos(x+y)},

όπου p, q, r τα δοθέντα μήκη |SA|, |SB|, |SC|, αντίστοιχα. Αναζητώντας τοπικό ακρότατο/μέγιστο μηδενίζουμε τις δύο μερικές παραγώγους:

\dfrac{qrsinx}{\sqrt{q^2+r^2-2qrcosx}}+\dfrac{pqsin(x+y)}{\sqrt{p^2+q^2-2pqcos(x+y)}}=0,

\dfrac{prsiny}{\sqrt{p^2+r^2-2prcosy}}+\dfrac{pqsin(x+y)}{\sqrt{p^2+q^2-2pqcos(x+y)}}=0.

Από τις δύο αυτές ισότητες προκύπτει άμεσα η

\dfrac{qsinx}{\sqrt{q^2+r^2-2qrcosx}}=\dfrac{psiny}{\sqrt{p^2+r^2-2prcosy}},

δηλαδή η ζητούμενη \dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}.

[Για να είμαστε βέβαια 100% εντάξει, και σίγουροι ότι το παραπάνω σημείο όντως δίνει τοπικό μέγιστο και όχι ελάχιστο κλπ ... θα έπρεπε να ελέγξουμε και την σχετική ορίζουσα κλπ -- θα το κάνω αργότερα και αν τυχόν εμφανισθούν δυσκολίες θα ενημερώσω, ως τότε αναμένουμε και πιο γεωμετρικές λύσεις (αν είναι δυνατόν). Ας πω επίσης ότι για τις άλλες δύο 'ισότητες έγκεντρου' ... απλά αλλάζουμε τις δύο μεταβλητές (και γωνίες).]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12146
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη περίμετρος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:42 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το S είναι έγκεντρο του τριγώνου. ]
Δείτε μια παρόμοια συζήτηση - αλλά για το μέγιστο εμβαδόν - εδώ .

Στην μεγιστοποίηση αυτή , μάλλον χωρίς αμφιβολία , το O είναι το ορθόκεντρο !

Γιώργο Μπαλόγλου , ευχαριστώ για τις επίπονες αποστολές που αναλαμβάνεις :clap2:


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2881
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Δευ Νοέμ 30, 2020 9:16 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:42 pm
george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το S είναι έγκεντρο του τριγώνου. ]
Δείτε μια παρόμοια συζήτηση - αλλά για το μέγιστο εμβαδόν - εδώ .

Στην μεγιστοποίηση αυτή , μάλλον χωρίς αμφιβολία , το O είναι το ορθόκεντρο !

Γιώργο Μπαλόγλου , ευχαριστώ για τις επίπονες αποστολές που αναλαμβάνεις :clap2:
Θανάση σ' ευχαριστούμε και εμείς για τις επίμονες αποστολές σου :winner_first_h4h:

Το ορθόκεντρο που αναφέρεις παραπάνω θα το δω αργότερα, για το έγκεντρο έχω να πω τα εξής επιπλέον:

Η απόδειξη ότι το έγκεντρο δίνει τοπικό, και τελικά ολικό, μέγιστο είναι όντως επίπονη, ιδίως αν επιχειρηθεί μέσω του υπολογισμού των μερικών παραγώγων δευτέρας τάξεως*. Μια ιδέα είναι να πάμε απευθείας για τοπικό μέγιστο παρατηρώντας ότι υπάρχει ακριβώς ένα τοπικό ακρότατο (έγκεντρο) ... όπου η τιμή της συνάρτησης (2(\sqrt{p^2-R^2}+\sqrt{q^2-R^2}+\sqrt{r^2-R^2}), όπου R η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου) υπερβαίνει τις τιμές της στο σύνορο που ορίζουν οι ευθείες x=0, y=0, x+y=\pi (2(p+q), 2(q+r), 2(p+r), υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις ευθειοποίησης του τριγώνου): αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί η ανισότητα

\sqrt{p^2-R^2}+\sqrt{q^2-R^2}+\sqrt{r^2-R^2}>max(p+q, q+r, r+p).

Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι σε τυχόν τρίγωνο ABC με έγκεντρο S ισχύει η ανισότητα

|AB|+|BC|+|CA|>max(|SA|+|SB|, |SB|+|SC|, |SC|+|SA|).

Η ανισότητα αυτή ισχύει για τυχόν σημείο S εντός τυχόντος τριγώνου ABC, συγκεκριμένα στην μορφή |SA|+|SB|<|CA|+|CB|, |SB|+|SC|<|AB|+|AC|, |SC|+|SA|<|BC|+|BA| (εσωτερική τεθλασμένη μικρότερη εξωτερικής τεθλασμένης).

*Αν επιμένουμε στην χρήση μερικών παραγώγων για τον χαρακτηρισμό του έγκεντρου ως τοπικού μεγίστου -- που θα πρέπει στην συνέχεια να επεκταθεί σε ολικό ακριβώς όπως παραπάνω -- καλό είναι να παρατηρήσουμε ότι οι μερικές παράγωγοι δευτέρας τάξεως γράφονται στην μορφή f_{xx}=U+W, f_{yy}=V+W, f_{xy}=W, με U, V, W μονίμως αρνητικά, οπότε οι ικανές για τοπικό μέγιστο συνθήκες f_{xx}<0, f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0 είναι άμεσες.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8565
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Νοέμ 30, 2020 3:26 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm
Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το S είναι έγκεντρο του τριγώνου.
Αρκεί να δείξουμε το εξής:

Έστω σταθερά σημεία S,B,C και έστω σημείo A τέτοιο ώστε SA = d. Αν AB+AC \geqslant A'B+A'C για κάθε A' το οποίο ανήκει στον κύκλο \omega με κέντρο το S και ακτίνα d, τότε το S ανήκει στο διχοτόμο της γωνιάς \angle BAC.

Φέρνουμε την έλλειψη \varepsilon με εστίες τα B,C που περνά από το A. Πρέπει οι \varepsilon,\omega να εφάπτονται στο A αφού σε διαφορετική περίπτωση μπορώ να βρω A' στην έλλειψη με A'B+A'C > AB+AC. Έστω \ell η εφαπτομένη της \varepsilon στο A. Επειδή B,C οι εστίες της έλλειψης, από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης η κάθετη στην \ell που περνά από το A διχοτομεί τη γωνία \angle BAC. Όμως η \ell εφάπτεται και στον \omega στο σημείο A. Επομένως η κάθετη περνά και από το S.

Πρέπει κανονικά να δείξουμε και ότι υπάρχει επιλογή των A,B,C η οποία μεγιστοποιεί την περίμετρο.

Η περίμετρος είναι συνεχής συνάρτηση των A,B,C. Το σύνολο Χ = \{(A,B,C):SA=d_1,SB=d_2,SC=d_3\} είναι κλειστό και φραγμένο άρα και συμπαγές. Επομένως υπάρχει επιλογή των A,B,C η οποία μεγιστοποιεί την περίμετρο.

Προσθήκη αργότερα: Με παρόμοια λογική το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν το S είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Η κύρια διαφορά είναι ότι αντί να φέρουμε έλλειψη με εστίες τα B,C φέρνουμε παράλληλη προς την BC η οποία περνά από το A.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2881
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη περίμετρος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Δεκ 01, 2020 11:17 am

Άριστη η λύση του Δημήτρη, και πολύ ενδιαφέρον το θέμα γενικώς!

Θα μπορούσαμε να αναρωτηθούμε: επεκτείνεται το θεώρημα σε μεγαλύτερες διαστάσεις; Μεγιστοποιείται για παράδειγμα η παράπλευρη επιφάνεια τετραέδρου ABCD με δεδομένα τα |SA|, |SB|, |SC|, |SD| όταν το S είναι το έγκεντρο του ABCD;


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης