Ο στόχος

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο στόχος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:42 pm

Ο  στόχος.png
Ο στόχος.png (23.95 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
Οι ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 2,3,4 . Μπορούμε άραγε να σχεδιάσουμε

το ισόπλευρο τρίγωνο ABC , με κορυφές ανά μία στον κάθε κύκλο ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ο στόχος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 21, 2020 6:49 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:42 pm
Ο στόχος.pngΟι ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 2,3,4 . Μπορούμε άραγε να σχεδιάσουμε

το ισόπλευρο τρίγωνο ABC , με κορυφές ανά μία στον κάθε κύκλο ;
Γενικότερα.

Παίρνουμε σημείο D στον εξωτερικό κύκλο και με βάση αυτό βρίσκω A στον εξωτερικό με DA= 4 (γενικά, όσο η ακτίνα του εξωτερικού κύκλου). Από την άλλη πλευρά βρίσκω σημείο B στον μεσαίο κύκλο έτσι ώστε DB=2 (γενικά, όσο η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου).

Φέρνω την AO και παίρνω C στον εσωρερικό κύκλο έτσι ώστε \angle AOC= \angle ATB. Ισχuρίζομαι ότι το ABC είναι το ζητούμενο ισόπλευρο.

Πράγματι, παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα BAT, CAO είναι ίσα (ίσες δύο αντίστοιχες πλευρές και την περιεχόμενη γωνία). Άρα \angle CAO=\angle BAT, οπότε \angle CAB= \angle OAT. Αλλά η τελευταία είναι 60^o διότι το τρίγωνο OAB είναι ισόπλευρο (τρεις πλευρές 4). Τελειώσαμε.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ο στόχος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Κυρ Νοέμ 22, 2020 12:29 pm

Καλημέρα,

Κατσκευάζω το τρίγωνο ODC με πλευρές 4, 3, 2. Με βάση την OD=4 κατασκευάζω το ισόπλευρο ADO.
Με βάση την AC κατασκευάζω το ισόπλευρο ABC. Προφανώς \triangle ADC = \triangle ABO\Rightarrow OB=DC=3.
Αρα το ζητούμενο τρίγωνο είναι το ABC
Συνημμένα
Ο στόχος.png
Ο στόχος.png (42.83 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο στόχος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 22, 2020 6:21 pm

Καλησπέρα!

Μετά τις πολύ ωραίες κατασκευές του Μιχάλη και του Αλέξανδρου, ας υπολογίσουμε την πλευρά x του ισοπλεύρου.
Στόχος.png
Στόχος.png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές
Με νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα OBE, OBC βρίσκω πρώτα,

\displaystyle \cos \theta  = \frac{{11}}{{16}} \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{{3\sqrt {15} }}{{16}} \Rightarrow \cos (\theta  + 60^\circ ) = \frac{{11 - 9\sqrt 5 }}{{32}}

και στη συνέχεια, \displaystyle {x^2} = 20 - 16\cos (\theta  + 60^\circ ) \Leftrightarrow \boxed{x = \sqrt {\frac{{29 + 9\sqrt 5 }}{2}} }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο στόχος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 7:38 am

Η αναζήτηση με οδήγησε σ' αυτό ( είναι η λύση του Μιχάλη ) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης