Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

Συντονιστής: gbaloglou

KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2105
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm

Δίνεται ευθεία \displaystyle{(e)} και τα σημεία \displaystyle{A, B} εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την \displaystyle{(e)}.
Να βρεθούν επί της ευθείας \displaystyle{(e)} δύο σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N} τέτοια ώστε:
1ο) \displaystyle{MA+MB=min}
και
2ο) \displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5622
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Νοέμ 08, 2020 8:33 pm

KDORTSI έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm
Δίνεται ευθεία \displaystyle{(e)} και τα σημεία \displaystyle{A, B} εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την \displaystyle{(e)}.
Να βρεθούν επί της ευθείας \displaystyle{(e)} δύο σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N} τέτοια ώστε:
1ο) \displaystyle{MA+MB=min}
και
2ο) \displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}
Αυτά είναι θέματα που προσωπικά μου αρέσουν πολύ και που έχουν και δυνατότητα να αντιμετωπιστούν και με αναλυτική Γεωμετρία στον χώρο. Όσο με αφορά όμως προσπαθώ να τα διαπραγματεύομαι με την Ευκλείδεια αντίληψη και σίγουρα εδώ στο mathematica κάτω από την σκέψη ότι ο Κώστας Δόρτσιος θα τα ζωντανέψει μέσω των λογισμικών. Θα αντιμετωπίσω λοιπόν το θέμα αυτό «χειρωνακτικά»:

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Θα επιδιώξουμε να "ρίξουμε" το θέμα για την μελέτη του στο επίπεδο.
Θεωρούμε τα επίπεδα {P_1}\left( {A,\left( e \right)} \right),\,{P_2}\left( {B,\left( e \right)} \right). Στο επίπεδο \left( {{P_2}} \right) θεωρούμε BC \bot \left( e \right),\;C \in \left( e \right) και σημείο D στο επίπεδο \left( {{P_1}} \right) τέτοιο πούCD \bot \left( e \right),\;CD = CB. Η τομή της AD με την \left( e \right) δίνει το σημείο N, ενώ η τομή της AD' με την \left( e \right), όπου D’ το σημείο του επιπέδου (P_1),
που είναι συμμετρικό του D ως προς την (e), δίνει το σημείο M.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2105
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( δεύτερη...)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Νοέμ 12, 2020 11:31 pm

KDORTSI έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm
Δίνεται ευθεία \displaystyle{(e)} και τα σημεία \displaystyle{A, B} εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την \displaystyle{(e)}.
Να βρεθούν επί της ευθείας \displaystyle{(e)} δύο σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N} τέτοια ώστε:
1ο) \displaystyle{MA+MB=min}
και
2ο) \displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}
S.E.Louridas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 8:33 pm
KDORTSI έγραψε:
Κυρ Νοέμ 08, 2020 7:15 pm
Δίνεται ευθεία \displaystyle{(e)} και τα σημεία \displaystyle{A, B} εκτός αυτής κι όχι στο ίδιο επίπεδο με την \displaystyle{(e)}.
Να βρεθούν επί της ευθείας \displaystyle{(e)} δύο σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N} τέτοια ώστε:
1ο) \displaystyle{MA+MB=min}
και
2ο) \displaystyle{\left|NA-NB \right|=max}
Αυτά είναι θέματα που προσωπικά μου αρέσουν πολύ και που έχουν και δυνατότητα να αντιμετωπιστούν και με αναλυτική Γεωμετρία στον χώρο. Όσο με αφορά όμως προσπαθώ να τα διαπραγματεύομαι με την Ευκλείδεια αντίληψη και σίγουρα εδώ στο mathematica κάτω από την σκέψη ότι ο Κώστας Δόρτσιος θα τα ζωντανέψει μέσω των λογισμικών. Θα αντιμετωπίσω λοιπόν το θέμα αυτό «χειρωνακτικά»:

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Θα επιδιώξουμε να "ρίξουμε" το θέμα για την μελέτη του στο επίπεδο.
Θεωρούμε τα επίπεδα {P_1}\left( {A,\left( e \right)} \right),\,{P_2}\left( {B,\left( e \right)} \right). Στο επίπεδο \left( {{P_2}} \right) θεωρούμε BC \bot \left( e \right),\;C \in \left( e \right) και σημείο D στο επίπεδο \left( {{P_1}} \right) τέτοιο πούCD \bot \left( e \right),\;CD = CB. Η τομή της AD με την \left( e \right) δίνει το σημείο N, ενώ η τομή της AD' με την \left( e \right), όπου D’ το σημείο του επιπέδου (P_1),
που είναι συμμετρικό του D ως προς την (e), δίνει το σημείο M.
Σωτήρη καλησπέρα....

Υλοποιώ την όμορφη ιδέα σου...

Επιστροφή στη Στερεομετρία (Δεύτερη 1...).png
Επιστροφή στη Στερεομετρία (Δεύτερη 1...).png (27.88 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
1ο )
Από τις σχέσεις που είναι σημειωμένες στο ανωτέρω σχήμα και θεωρώντας το τρίγωνο \displaystyle{(EAD')},

όπου \displaystyle{E} τυχαίο σημείο της \displaystyle{(e)}, από την τριγωνική ανισότητα προκύπτει:

\displaystyle{AD'\leq AE+ED' \Rightarrow AM+MD' \leq AE+ED' \Rightarrow MA+MB \leq EA+EB \  \ (1)}

με την ισότητα να ισχύει όταν το σημείο \displaystyle{E} συμπέσει στο σημείο \displaystyle{M}.

Άρα το σημείο \displaystyle{M}, όπως το περιέγραψε ο Σωτήρης, δίνει τη θέση του ελαχίστου αθροίσματος.

2ο)
Όμοια θεωρώντας το τρίγωνο \displaystyle{(EAD)}, από την τριγωνική σχέση προκύπτει:

\displaystyle{\left|EA-ED \right | \leq AD \  \ (2) }

Η ισότητα στη σχέση (2) ισχύει όταν το σημείο \displaystyle{E} συμπέσει στη θέση του σημείου \displaystyle{N}.

Άρα το σημείο \displaystyle{N}, όπως αυτό περιγράφηκε από το Σωτήρη, δίνει τη θέση της μεγίστης απόλυτης διαφοράς.


Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης