Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

Συντονιστής: gbaloglou

KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2124
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Οκτ 28, 2020 5:51 pm

Δίνονται δυο σημεία \displaystyle{A, B} και μια ευθεία \displaystyle{(e)} όχι στο ίδιο επίπεδο.
Να βρεθεί σημείο \displaystyle{C} επί της ευθείας \displaystyle{(e)} ώστε το τρίγωνο \displaystyle{(ABC)}
Να είναι ισοσκελές.
Πόσες λύσεις είναι δυνατόν να υπάρχουν;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5639
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Οκτ 28, 2020 7:08 pm

Ας επιχειρήσουμε μία αντιμετώπιση «επί του πιεστηρίου» στο όμορφο αυτό θέμα (αναμενόμενο) του Κώστα.

α) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e) ώστε MA=MB, έχουμε:
1. Αν η AB δεν είναι κάθετη στην (e), τότε, το M θα είναι η τομή της (e) με το μεσοκάθετο επίπεδο της AB,
2. Αν η AB είναι κάθετη στην (e) και η (e) ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο της AB, τότε, έχουμε άπειρα M της (e).
3. Αν η AB είναι κάθετη στην (e) και η (e) δεν ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο της AB, τότε, δεν έχουμε τέτοια σημεία M της (e).
β) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e), ώστε MB=AB, τότε το σημείο M ορίζεται στο επίπεδο (B, (e)) ως τομή του κύκλου (B, BA) με την (e), αν υπάρχει τομή.
γ) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e), ώστε MA=AB, τότε το σημείο M ορίζεται στο επίπεδο (A, (e)) ως τομή του κύκλου (A, BA) με την (e), αν υπάρχει τομή.
δ) Αν η (e) περνά εξ ενός από τα σημεία A, B, τότε έχουμε «εκφυλισμένο» σε ευθύγραμμο τμήμα ισοσκελές τρίγωνο.
ε) Αν τώρα θέλουμε ισόπλευρο τρίγωνο, τότε, αναζητούμε την άλλη κορυφή του ως τομή της τομής των σφαιρών (A, AB),\;(B,BA), που είναι κύκλος, με την (e), αν βέβαια και εδώ υπάρχει η τομή αυτή.


Παρατήρηση: Να υπενθυμίσουμε ότι στον χώρο των τριών διαστάσεων, όταν μιλάμε για προσδιορισμό εννοούμε για απόδειξη ύπαρξης, όχι με την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, αφού απουσιάζει το χαρτί χάραξης (ως μέσο κατασκευαστικής απεικόνισης του χώρου των δύο διαστάσεων) με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη. Όμως τώρα με χρήση των λογισμικών μπορούμε να έχουμε και κατασκευαστική προσδιοριστική σε πολύ ακριβές ποσοστό που να τείνει στο 100%, με την σημασία στη λειτουργία της έννοιας: "τείνει στο" .

Θεωρώντας βέβαια ότι δεν μου ξέφυγε κάποια περίπτωση.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2124
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Οκτ 30, 2020 8:09 pm

KDORTSI έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:51 pm
Δίνονται δυο σημεία \displaystyle{A, B} και μια ευθεία \displaystyle{(e)} όχι στο ίδιο επίπεδο.
Να βρεθεί σημείο \displaystyle{C} επί της ευθείας \displaystyle{(e)} ώστε το τρίγωνο \displaystyle{(ABC)}
Να είναι ισοσκελές.
Πόσες λύσεις είναι δυνατόν να υπάρχουν;
S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 7:08 pm
Ας επιχειρήσουμε μία αντιμετώπιση «επί του πιεστηρίου» στο όμορφο αυτό θέμα (αναμενόμενο) του Κώστα.

α) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e) ώστε MA=MB, έχουμε:
1. Αν η AB δεν είναι κάθετη στην (e), τότε, το M θα είναι η τομή της (e) με το μεσοκάθετο επίπεδο της AB,
.......................................................

Παρατήρηση: Να υπενθυμίσουμε ότι στον χώρο των τριών διαστάσεων, όταν μιλάμε για προσδιορισμό εννοούμε για απόδειξη ύπαρξης, όχι με την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, αφού απουσιάζει το χαρτί χάραξης (ως μέσο κατασκευαστικής απεικόνισης του χώρου των δύο διαστάσεων) με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη. Όμως τώρα με χρήση των λογισμικών μπορούμε να έχουμε και κατασκευαστική προσδιοριστική σε πολύ ακριβές ποσοστό που να τείνει στο 100%, με την σημασία στη λειτουργία της έννοιας: "τείνει στο" .

Θεωρώντας βέβαια ότι δεν μου ξέφυγε κάποια περίπτωση.


Σωτήρη θα επιχειρήσω να υλοποιήσω σχηματικά τις ιδέες σου...

1. Έστω ότι \displaystyle{AB} δεν είναι ορθογώνια με την \displaystyle{(e)}.

Στερεομετρία 1α.png
Στερεομετρία 1α.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές
Στο σχήμα αυτό το ένα επίπεδο είναι εκείνο που ορίζεται από την \displaystyle{(e)} και το σημείο \displaystyle{A}.

Το δεύτερο επίπεδο είναι το μεσοκάθετο του τμήματος \displaystyle{AB}.

Από την υπόθεσή μας το μεσοκάθετο αυτό επίπεδο τέμνει την \displaystyle{(e)} σε ένα το πολύ σημείο \displaystyle{M}.

Έτσι είναι \displaystyle{AM=MB}

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2124
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Οκτ 31, 2020 9:46 pm

KDORTSI έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:51 pm
Δίνονται δυο σημεία \displaystyle{A, B} και μια ευθεία \displaystyle{(e)} όχι στο ίδιο επίπεδο.
Να βρεθεί σημείο \displaystyle{C} επί της ευθείας \displaystyle{(e)} ώστε το τρίγωνο \displaystyle{(ABC)}
Να είναι ισοσκελές.
Πόσες λύσεις είναι δυνατόν να υπάρχουν;
S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 7:08 pm
Ας επιχειρήσουμε μία αντιμετώπιση «επί του πιεστηρίου» στο όμορφο αυτό θέμα (αναμενόμενο) του Κώστα.

α) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e) ώστε MA=MB, έχουμε:
................................................................................
2. Αν η AB είναι κάθετη στην (e) και η (e) ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο της AB, τότε, έχουμε άπειρα M της (e).
3. Αν η AB είναι κάθετη στην (e) και η (e) δεν ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο της AB, τότε, δεν έχουμε τέτοια σημεία M της (e).
.............................................................................

Παρατήρηση: Να υπενθυμίσουμε ότι στον χώρο των τριών διαστάσεων, όταν μιλάμε για προσδιορισμό εννοούμε για απόδειξη ύπαρξης, όχι με την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, αφού απουσιάζει το χαρτί χάραξης (ως μέσο κατασκευαστικής απεικόνισης του χώρου των δύο διαστάσεων) με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη. Όμως τώρα με χρήση των λογισμικών μπορούμε να έχουμε και κατασκευαστική προσδιοριστική σε πολύ ακριβές ποσοστό που να τείνει στο 100%, με την σημασία στη λειτουργία της έννοιας: "τείνει στο" .

Θεωρώντας βέβαια ότι δεν μου ξέφυγε κάποια περίπτωση.


Συνέχεια...

α2. Έστω ότι η \displaystyle{AB} είναι ορθογώνια με την \displaystyle{(e)} και ότι η \displaystyle{(e)} ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο της \displaystyle{AB}.

Τότε έχουμε το σχήμα:

Στερεομετρία 1β.png
Στερεομετρία 1β.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές
Έχουμε απειρία λύσεων καθόσον το σημείο \displaystyle{M} μπορεί να είναι τυχαίο επί της \displaystyle{(e)}.

α3. Έστω ότι η \displaystyle{AB} είναι ορθογώνια με την \displaystyle{(e)} και ότι η \displaystyle{(e)} δεν ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο της \displaystyle{AB}.


Τότε έχουμε το σχήμα:
Στερεομετρία 1γ.png
Στερεομετρία 1γ.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές
Στην περίπτωση αυτή δεν έχουμε λύση τέτοια ώστε \displaystyle{MA=MB}

(Αυτό μελετάται εξετάζοντας τη σχέση των αποστάσεων \displaystyle{AO, BO})


(Συνεχίζεται....)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2124
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Νοέμ 03, 2020 4:54 pm

KDORTSI έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:51 pm
Δίνονται δυο σημεία \displaystyle{A, B} και μια ευθεία \displaystyle{(e)} όχι στο ίδιο επίπεδο.
Να βρεθεί σημείο \displaystyle{C} επί της ευθείας \displaystyle{(e)} ώστε το τρίγωνο \displaystyle{(ABC)}
Να είναι ισοσκελές.
Πόσες λύσεις είναι δυνατόν να υπάρχουν;
S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 7:08 pm
Ας επιχειρήσουμε μία αντιμετώπιση «επί του πιεστηρίου» στο όμορφο αυτό θέμα (αναμενόμενο) του Κώστα.
..................................................................................
β) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e), ώστε MB=AB, τότε το σημείο M ορίζεται στο επίπεδο (B, (e)) ως τομή του κύκλου (B, BA) με την (e), αν υπάρχει τομή.
γ) Αν θέλουμε σημείο M της ευθείας (e), ώστε MA=AB, τότε το σημείο M ορίζεται στο επίπεδο (A, (e)) ως τομή του κύκλου (A, BA) με την (e), αν υπάρχει τομή.
δ) Αν η (e) περνά εξ ενός από τα σημεία A, B, τότε έχουμε «εκφυλισμένο» σε ευθύγραμμο τμήμα ισοσκελές τρίγωνο.
...................................................................................
Παρατήρηση: Να υπενθυμίσουμε ότι στον χώρο των τριών διαστάσεων, όταν μιλάμε για προσδιορισμό εννοούμε για απόδειξη ύπαρξης, όχι με την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, αφού απουσιάζει το χαρτί χάραξης (ως μέσο κατασκευαστικής απεικόνισης του χώρου των δύο διαστάσεων) με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη. Όμως τώρα με χρήση των λογισμικών μπορούμε να έχουμε και κατασκευαστική προσδιοριστική σε πολύ ακριβές ποσοστό που να τείνει στο 100%, με την σημασία στη λειτουργία της έννοιας: "τείνει στο" .

Θεωρώντας βέβαια ότι δεν μου ξέφυγε κάποια περίπτωση.
Περίπτωση β)

Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Στερεομετρία 2α.png
Στερεομετρία 2α.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Στην περίπτωση αυτή, όπως γράφει και ο Σωτήρης, έχουμε \displaystyle{0, 1, 2 } λύσεις.

Σημείωση: Η κόκκινη στικτή γραμμή είναι κάθετη στο επίπεδο \displaystyle{(p)} στο σημείο \displaystyle{B}
και σχεδιάστηκε ώστε να φανεί καλύτερα το όλο σχήμα στο χώρο.


Περίπτωση γ)

Έχουμε παρόμοιο σχήμα με την προηγούμενη περίπτωση...

Περίπτωση δ)

Η περίπτωση αυτή δεν μας απασχολεί διότι τότε τα σημεία \displaystyle{A, B} και η ευθεία \displaystyle{(e)} είναι στοιχεία ενός επιπέδου.
(εκφυλισμένη περίπτωση κατά το Σωτήρη)

Συνεχίζεται....

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2124
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Επιστροφή στη Στερεομετρία( πρώτη...)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Νοέμ 05, 2020 9:14 pm

KDORTSI έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 5:51 pm
Δίνονται δυο σημεία \displaystyle{A, B} και μια ευθεία \displaystyle{(e)} όχι στο ίδιο επίπεδο.
Να βρεθεί σημείο \displaystyle{C} επί της ευθείας \displaystyle{(e)} ώστε το τρίγωνο \displaystyle{(ABC)}
Να είναι ισοσκελές.
Πόσες λύσεις είναι δυνατόν να υπάρχουν;
S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 7:08 pm
Ας επιχειρήσουμε μία αντιμετώπιση «επί του πιεστηρίου» στο όμορφο αυτό θέμα (αναμενόμενο) του Κώστα.
..................................................

.......................................
ε) Αν τώρα θέλουμε ισόπλευρο τρίγωνο, τότε, αναζητούμε την άλλη κορυφή του ως τομή της τομής των σφαιρών (A, AB),\;(B,BA), που είναι κύκλος, με την (e), αν βέβαια και εδώ υπάρχει η τομή αυτή.


Παρατήρηση: Να υπενθυμίσουμε ότι στον χώρο των τριών διαστάσεων, όταν μιλάμε για προσδιορισμό εννοούμε για απόδειξη ύπαρξης, όχι με την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, αφού απουσιάζει το χαρτί χάραξης (ως μέσο κατασκευαστικής απεικόνισης του χώρου των δύο διαστάσεων) με βάση τον κανόνα και τον διαβήτη. Όμως τώρα με χρήση των λογισμικών μπορούμε να έχουμε και κατασκευαστική προσδιοριστική σε πολύ ακριβές ποσοστό που να τείνει στο 100%, με την σημασία στη λειτουργία της έννοιας: "τείνει στο" .

Θεωρώντας βέβαια ότι δεν μου ξέφυγε κάποια περίπτωση.
Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Στερεομετρία 2ε.png
Στερεομετρία 2ε.png (53.59 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Οι δύο σφαίρες που αναφέρει ο Σωτήρης τέμνονται κατά τον κύκλο \displaystyle{C(O,\frac{d \sqrt{3}}{2})}, όπου \displaystyle{d=(AB)}.

Αν τώρα θεωρήσουμε \displaystyle{S} την τομή της ευθείας \displaystyle{(e)} με το επίπεδο του κύκλου αυτού, το οποίο είναι το

μεσοκάθετο επίπεδο \displaystyle{(p)} του τμήματος \displaystyle{AB}, τότε θα έχουμε λύση στο πρόβλημά μας αν ισχύει:

\displaystyle{(OT)=(OS)}

δηλαδή:

\displaystyle{ \frac{d \sqrt{3}}{2}=(OS)}

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες