mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 13, 2020 9:40 am**

Δίνεται γωνία $\displaystyle{ \widehat{xOy}=30^o}$ και εντός αυτής σημείο $\displaystyle{A}$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{d(A,Ox)=5}$ και $\displaystyle{d(A,Oy)=3}$ .

: Κατασκευή πρώτη.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ τέτοιο ώστε οι κορυφές $\displaystyle{B,C}$ να ανήκουν αντίστοιχα στους
φορείς των πλευρών $\displaystyle{Oy, Ox}$ και να ισχύουν ακόμα τα ακόλουθα:

$\displaystyle{\widehat{BAC}=145^o}$

και

$\displaystyle{(AB)(AC)=16}$ .

Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 13, 2020 10:31 pm**

ΑΝΑΛΥΣΗ (χωρίς περιγραφική θεωρητική ορολογία, ώστε να γίνει κατανοητό και από μη εξειδικευμένους γνώστες):

Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε:
Στην προέκταση του

προς το

θεωρούμε

, οπότε $AF \cdot AB = AC \cdot AB = 16$ και στην προέκταση του

προς το

σημείο

τέτοιο που $AE \cdot AE' = AB \cdot AF = 16,$ οπότε το

είναι σταθερό σημείο και $\angle AFE' = {90^ \circ },$
άρα το σημείο

θα κινείται στον κύκλο

διαμέτρου

Επιπλέον το σημείο

θα κινείται στην σταθερή ευθεία ZF,

αφού το σημείο

είναι σταθερό καθότι $\angle AZO = {72.5^ \circ },\;\,ct.$ και $xZF = {35^ \circ },\;\,ct.,$ που σημαίνει ότι το

προσδιορίζεται απόλυτα, άρα και το

αλλά και το

: dorts.png (34.25 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

: dor.png (23.47 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

edit:
(i) Απλά πρόσθεσα το μη στην παρένθεση μετά την λέξη ΑΝΑΛΥΣΗ στην αρχή, που είχα εκ παραδρομής παραλείψει.
(ii) Επίσης να αναφέρω ότι το σχήμα 1 είναι το σχήμα της διαδικασία ΑΝΑΛΥΣΗ , όπου ως γνωστόν ως διαδικασία μας καθοδηγεί για την διαδικασία της Σύνθεσης ή Κατασκευής. Στην συνέχεια τοποθέτησα το σχήμα 2 που είναι το σχήμα της κατασκευής με βάση τα συγκεκριμένα πλέον δεδομένα άρα με την πλέον απαιτούμενη ακρίβεια, όπου το σημείο

ευρίσκεται εντός της γωνίας $\angle xOy$ και που επίσης φαίνεται (χωρίς αυτό να συμβαίνει) ως οι κύκλοι e, c

να ταυτίζονται.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 14, 2020 12:49 pm**

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 13, 2020 9:40 am
Δίνεται γωνία $\displaystyle{ \widehat{xOy}=30^o}$ και εντός αυτής σημείο $\displaystyle{A}$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{d(A,Ox)=5}$ και $\displaystyle{d(A,Oy)=3}$ .

Κατασκευή πρώτη.png

Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ τέτοιο ώστε οι κορυφές $\displaystyle{B,C}$ να ανήκουν αντίστοιχα στους
φορείς των πλευρών $\displaystyle{Oy, Ox}$ και να ισχύουν ακόμα τα ακόλουθα:

$\displaystyle{\widehat{BAC}=145^o}$

και

$\displaystyle{(AB)(AC)=16}$ .

Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

α) Αντιστρέφω την,

, με πόλο το σταθερό σημείο

και δύναμη αντιστροφής ,

${k^2} = {4^2} = 16$ και προκύπτει ο κόκκινος κύκλος. ( Ο μπλε εστιγμένος είναι ο κύκλος αντιστροφής $\left( {A,4} \right)$ ) .

: Πρώτη κατασκευή_ ok.png (30.07 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

β) Στρέφω το κύκλο αυτό με κέντρο το

και γωνία στροφής $\theta = 145^\circ$ και

προκύπτει ίσος κύκλος , πράσινος , που τέμνει σε δύο σημεία , C,C'

την

.

Το

προκύπτει αν σχηματίσω γωνία $\widehat {CAZ} = 145^\circ$ και είναι η τομή της

με την

Προφανές ότι το πρόβλημα έχει 2 λύσεις διακεκριμένες με βάσει τις αποστάσεις $5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,3$ που δόθηκαν.

: Πρώτη κατασκευή_ ok_b.png (28.74 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 15, 2020 2:03 pm**

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 13, 2020 9:40 am
Δίνεται γωνία $\displaystyle{ \widehat{xOy}=30^o}$ και εντός αυτής σημείο $\displaystyle{A}$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{d(A,Ox)=5}$ και $\displaystyle{d(A,Oy)=3}$ .

Κατασκευή πρώτη.png
Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ τέτοιο ώστε οι κορυφές $\displaystyle{B,C}$ να ανήκουν αντίστοιχα στους
φορείς των πλευρών $\displaystyle{Oy, Ox}$ και να ισχύουν ακόμα τα ακόλουθα:

$\displaystyle{\widehat{BAC}=145^o}$

και

$\displaystyle{(AB)(AC)=16}$ .

Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

Σωτήρη και Νίκο καλημέρα σας...

Ευχαριστώ που αφιερώσατε χρόνο για το ανωτέρω πρόβλημα...

Οι λύσεις σας είναι όμορφες, σωστές και με ωραία σχήματα...

Αν ήθελα να προσθέσω κάτι, αυτό είναι ότι στην ουσία ο Νίκος θεώρησε την ομόρροπη αντιστροφή, ενώ

ο Σωτήρης με έναν ιδιαίτερο τρόπο οδηγήθηκε στη λύση θεωρώντας, χωρίς να δηλώνεται, την αντίρροπη αντιστροφή.

Και οι δύο αντιμετωπίσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι δυο τέτοια τρίγωνα κατασκευάζονται.

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Κατασκευή πρώτη

Κατασκευή πρώτη

Re: Κατασκευή πρώτη

Re: Κατασκευή πρώτη

Re: Κατασκευή πρώτη