Επώδυνη σταθερά

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επώδυνη σταθερά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 23, 2020 10:37 am

Επώδυνη  σταθερά.png
Επώδυνη σταθερά.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4 . Έστω : 0<k<1 .

Επί των πλευρών AB ,AC , CB , θεωρούμε σημεία P , S, T αντίστοιχα , ώστε : BP=3k ,

AS=4k , CT=5k . Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του k , για την οποία το τρίγωνο PST είναι

ορθογώνιο ( στο S ) και βρείτε ( με οποιονδήποτε τρόπο ) την κατάλληλη αυτή τιμή του k .



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Επώδυνη σταθερά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 23, 2020 11:26 am

Δεν βλέπω κάτι ενδιαφέρον.
Εύκολα (Πυθαγόρειο-Θεώρημα συνημιτόνου)
υπολογίζονται τα PT,PS,ST
Από Πυθαγόρειο μεταξύ τους βγάζουμε k=0 η k=\frac{7}{23}
Προφανώς μας ενδιαφέρει η δεύτερη περίπτωση.

Προφανώς είναι για άλλο φάκελλο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επώδυνη σταθερά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 23, 2020 1:55 pm

Έστω D σημείο της AB με AD = 3k. Αρκεί ο θετικός \boxed{k < \frac{1}{2}}

Προφανές ότι DSCT είναι παραλληλόγραμμο

Όταν τώρα \widehat {TSP} = 90^\circ ο κύκλος διαμέτρου PT θα διέρχεται από το S , οπότε από το

εγγράψιμο τετράπλευρο και αφού DT//AC έχω ότι και το ορθογώνιο τρίγωνο

SPT είναι όμοιο με τα \vartriangle ABC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DAS.
Επώδυνη  Σταθερά.png
Επώδυνη Σταθερά.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Θα είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  16{m^2} = 16{k^2} + 9{\left( {1 - k} \right)^2} \hfill \\ 
  9{m^2} = 9{k^2} + 16{(1 - 2k)^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  k = \frac{7}{{23}} < \frac{1}{2} \hfill \\ 
  k = \frac{{25}}{{41}} > \frac{1}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα : \boxed{k = \frac{7}{{23}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επώδυνη σταθερά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 23, 2020 5:06 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 23, 2020 10:37 am
Επώδυνη σταθερά.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4 . Έστω : 0<k<1 .

Επί των πλευρών AB ,AC , CB , θεωρούμε σημεία P , S, T αντίστοιχα , ώστε : BP=3k ,

AS=4k , CT=5k . Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του k , για την οποία το τρίγωνο PST είναι

ορθογώνιο ( στο S ) και βρείτε ( με οποιονδήποτε τρόπο ) την κατάλληλη αυτή τιμή του k .
Αν E είναι η προβολή του T στην AC, τότε προφανώς \displaystyle TE = 3k,EC = 4k και \displaystyle SE = 4 - 8k
Ανώδυνη σταθερά.png
Ανώδυνη σταθερά.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
Από τα όμοια τρίγωνα ASP, ETS είναι, \displaystyle \frac{{4k}}{{3k}} = \frac{{3 - 3k}}{{4 - 8k}} \Leftrightarrow \boxed{k=\frac{7}{23}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Επώδυνη σταθερά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Σεπ 23, 2020 9:01 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 23, 2020 10:37 am
Επώδυνη σταθερά.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4 . Έστω : 0<k<1 .

Επί των πλευρών AB ,AC , CB , θεωρούμε σημεία P , S, T αντίστοιχα , ώστε : BP=3k ,

AS=4k , CT=5k . Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του k , για την οποία το τρίγωνο PST είναι

ορθογώνιο ( στο S ) και βρείτε ( με οποιονδήποτε τρόπο ) την κατάλληλη αυτή τιμή του k .
Καλησπέρα

Εστω TI//AB\Rightarrow TI=3k=PB,IC=4k=AS, Συνεπώς το PBTI είναι παραλληλόγραμμο.Απο το Π.θ στο τρίγωνο APS,PS^{2}=25k^{2}-18k+9,(2),BI^{2}=9+(4-4k)^{2}\Rightarrow 4OB^{2}=16k^{2}-32k+25,(3)

Με θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνοPBT,PT^{2}=52k^{2}-68k+25 Και απο τη σχέση PT^{2}=ST^{2}+PS^{2}\Rightarrow 46k-14=0\Rightarrow k=\dfrac{7}{23}
Συνημμένα
΄Επώδυνη σταθερότητα.png
΄Επώδυνη σταθερότητα.png (45.62 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης