Επώδυνη σταθερά

KARKAR · #1

: Επώδυνη σταθερά.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4

. Έστω :

.

Επί των πλευρών AB ,AC , CB

, θεωρούμε σημεία P , S, T

αντίστοιχα , ώστε : BP=3k

,

. Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του

, για την οποία το τρίγωνο PST

είναι

ορθογώνιο ( στο

) και βρείτε ( με οποιονδήποτε τρόπο ) την κατάλληλη αυτή τιμή του

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Δεν βλέπω κάτι ενδιαφέρον.
Εύκολα (Πυθαγόρειο-Θεώρημα συνημιτόνου)
υπολογίζονται τα PT,PS,ST

Από Πυθαγόρειο μεταξύ τους βγάζουμε k=0

η $k=\frac{7}{23}$
Προφανώς μας ενδιαφέρει η δεύτερη περίπτωση.

Προφανώς είναι για άλλο φάκελλο.

#3

Έστω

σημείο της

με

. Αρκεί ο θετικός $\boxed{k < \frac{1}{2}}$

Προφανές ότι DSCT

είναι παραλληλόγραμμο

Όταν τώρα $\widehat {TSP} = 90^\circ$ ο κύκλος διαμέτρου

θα διέρχεται από το

, οπότε από το

εγγράψιμο τετράπλευρο και αφού DT//AC

έχω ότι και το ορθογώνιο τρίγωνο

SPT

είναι όμοιο με τα $\vartriangle ABC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DAS$ .

: Επώδυνη Σταθερά.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

Θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} 16{m^2} = 16{k^2} + 9{\left( {1 - k} \right)^2} \hfill \\ 9{m^2} = 9{k^2} + 16{(1 - 2k)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{7}{{23}} < \frac{1}{2} \hfill \\ k = \frac{{25}}{{41}} > \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα : $\boxed{k = \frac{7}{{23}}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 10:37 am
Επώδυνη σταθερά.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές : . Έστω : .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : ,

. Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του , για την οποία το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο ( στο ) και βρείτε ( με οποιονδήποτε τρόπο ) την κατάλληλη αυτή τιμή του .

Αν

είναι η προβολή του

στην

τότε προφανώς $\displaystyle TE = 3k,EC = 4k$ και $\displaystyle SE = 4 - 8k$

: Ανώδυνη σταθερά.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα ASP, ETS

είναι, $\displaystyle \frac{{4k}}{{3k}} = \frac{{3 - 3k}}{{4 - 8k}} \Leftrightarrow$ $\boxed{k=\frac{7}{23}}$

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 10:37 am
Επώδυνη σταθερά.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές : . Έστω : .

Επί των πλευρών , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : ,

. Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του , για την οποία το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο ( στο ) και βρείτε ( με οποιονδήποτε τρόπο ) την κατάλληλη αυτή τιμή του .

Καλησπέρα

Εστω $TI//AB\Rightarrow TI=3k=PB,IC=4k=AS,$ Συνεπώς το PBTI

είναι παραλληλόγραμμο.Απο το Π.θ στο τρίγωνο $APS,PS^{2}=25k^{2}-18k+9,(2),BI^{2}=9+(4-4k)^{2}\Rightarrow 4OB^{2}=16k^{2}-32k+25,(3)$

Με θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $PBT,PT^{2}=52k^{2}-68k+25$ Και απο τη σχέση $PT^{2}=ST^{2}+PS^{2}\Rightarrow 46k-14=0\Rightarrow k=\dfrac{7}{23}$

Επώδυνη σταθερά

Επώδυνη σταθερά

Re: Επώδυνη σταθερά

Re: Επώδυνη σταθερά

Re: Επώδυνη σταθερά

Re: Επώδυνη σταθερά

Μέλη σε σύνδεση