Το τρίγωνο του διαβόλου

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το τρίγωνο του διαβόλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 06, 2020 6:58 pm

Το  τρίγωνο  του  διαβόλου.png
Το τρίγωνο του διαβόλου.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Η βάση BC του εγγεγραμμένου τριγώνου ABC είναι σταθερή , με απόστημα \dfrac{R}{2} . Η κορυφή A

κινείται στο μεγάλο τόξο \overset{\frown}{BC} . Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το N το μέσο της AB .

Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος HN και ελέγξτε αν κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης είναι : HN=HD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 07, 2020 11:22 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 06, 2020 6:58 pm
Το τρίγωνο του διαβόλου.pngΗ βάση BC του εγγεγραμμένου τριγώνου ABC είναι σταθερή , με απόστημα \dfrac{R}{2} . Η κορυφή A

κινείται στο μεγάλο τόξο \overset{\frown}{BC} . Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το N το μέσο της AB .

Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος HN και ελέγξτε αν κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης είναι : HN=HD .
Μία συνοπτική λύση. Λόγω φακέλου πολλές αποδείξεις παραλείπονται.
Το τρίγωνο του διαβόλου.png
Το τρίγωνο του διαβόλου.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
\displaystyle  \bullet \displaystyle AH = 2OM \Leftrightarrow 2R\cos A = R \Leftrightarrow \widehat A = 60^\circ  \Leftrightarrow a = R\sqrt 3

\displaystyle  \bullet \displaystyle 3{R^2} = {b^2} + {c^2} - bc,O{H^2} = 9{R^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2}) \Rightarrow O{H^2} = 3{R^2} - bc

\displaystyle  \bullet \displaystyle O{N^2} = {R^2} - \frac{{{c^2}}}{4}, \displaystyle O{N^2} = {R^2} - \frac{{{c^2}}}{4},b = \frac{{c + \sqrt {12{R^2} - 3{c^2}} }}{2},N\widehat OH = 30^\circ ,

οπότε με νόμο συνημιτόνου στο OHN υπολογίζω το HN συναρτήσει του c. Στη συνέχεια βρίσκω ότι για \boxed{c = R\sqrt 2}

έχουμε ελάχιστη τιμή \boxed{HD= H{N_{\min }} = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)} (Στο σχήμα φαίνονται οι γωνίες του τριγώνου σ' αυτή τη θέση).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Αύγ 09, 2020 8:08 pm

Τρίγωνο του διαβόλου_a.png
Τρίγωνο του διαβόλου_a.png (41.56 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Έστω S ο νότιος πόλος και CT το ύψος του \vartriangle ABC.

Επειδή OM = {a_3} = \frac{R}{2} \Rightarrow BC = {\lambda _3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{A_{}}} = 60^\circ . Είναι γνωστό ότι τα σημεία

B,H,O,C ανήκουν στον κύκλο , \left( {S,R} \right) . NS \leqslant NH + HS = NH + R με το ίσον να ισχύει όταν N,H,S είναι σ ευθεία.

Τότε: το τετράπλευρο NBSO είναι χαρταετός κα με K το σημείο τομής των διαγωνίων του έχω:
Τρίγωνο του διαβόλου_b.png
Τρίγωνο του διαβόλου_b.png (39.18 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές


NH = NS - SH = NK + KS - R = KO + KS - R = \dfrac{R}{2} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} - R. Άρα \boxed{N{H_{\min }} = \dfrac{{R\left( {\sqrt {3 - 1} } \right)}}{2}}

Επίσης τότε το \vartriangle DHB είναι ισοσκελές ορθογώνιο με BH = {\lambda _{12}} και άρα :

\boxed{HD = \frac{{{\lambda _{12}}}}{{\sqrt 2 }} = R\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }} = R\frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} = HN}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Αύγ 11, 2020 1:01 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 06, 2020 6:58 pm
Το τρίγωνο του διαβόλου.pngΗ βάση BC του εγγεγραμμένου τριγώνου ABC είναι σταθερή , με απόστημα \dfrac{R}{2} . Η κορυφή A

κινείται στο μεγάλο τόξο \overset{\frown}{BC} . Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το N το μέσο της AB .

Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος HN και ελέγξτε αν κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης είναι : HN=HD .

1.Επειδή OM= \dfrac{R}{2} =  \alpha _{3}  \Rightarrow BC=   \lambda _{3}=R \sqrt{3} επομένως  \angle A=60^0 ή  \angle A=120^0

Είναι γνωστό ότι αν COE διάμετρος του περίκυκλου του  \triangle ABC ,τότε τα σημεία H,N,E είναι

συνευθειακά και HN=NE (Η απόδειξη απλή)

Επειδή  \angle ECB=30^0 \Rightarrow EB=//AH=//2OM=R και το  E είναι σταθερό σημείο

Είναι, \angle BHD=30^0+BAH και \angle DHC=30^0+HAC και με πρόσθεση

\angle BHC= \angle BOC=60^0+60^0=120^0 \Rightarrow BHOC εγγράψιμο και η τομή P της

μεσοκάθετης της OH και της BC είναι το κέντρο του περίκυκλου του  BHOC

Όμως HAOP είναι ρόμβος,άρα OP=R και συνεπώς ο κύκλος(P,R) είναι σταθερός

Έστω ότι  EP \cap (P,R)= L, Q .Τότε (όπως είναι γνωστό) η ελάχιστη τιμή του EH=2HN λαμβάνεται όταν  H \equiv L

Αλλά  EB=PC=R \Rightarrow EP=BC=R \sqrt{3} άρα  EH_{min} =EL=EP-R=R \sqrt{3}-R \Rightarrow  NH_{min} =R .  \dfrac{ \sqrt{3}-1 }{2}

2.Ισχύει ,HD=DK και  2HD . HA=EH . HP \Rightarrow 2HD . R=R( \sqrt{3}-1).R \Rightarrow HD= \dfrac{R( \sqrt{3}-1) }{2}  =NH
Το τρίγωνο του διαβόλου.png
Το τρίγωνο του διαβόλου.png (31.41 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Παρατήρηση:Στην περίπτωση που \angle A=120^0 η HN παίρνει μέγιστη τιμή  HN_{max}= \dfrac{R( \sqrt{3} +1)}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης