Ελάχιστο λόγου

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο λόγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 05, 2020 8:30 pm

Ελάχιστο  λόγου.png
Ελάχιστο λόγου.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Στο θέμα που ακολουθεί ενδέχεται να μην υπάρχει γενική λύση , οπότε ας λυθεί τουλάχιστον η εφαρμογή .

Ισοσκελές τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O , R) . Σημείο S κινείται στο μικρό τόξο \overset{\frown}{AC} .

Η BS τέμνει την AC στο T . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου : \dfrac{BT}{TS} . ( R=5 , BC=8 ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9783
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο λόγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 06, 2020 6:37 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 05, 2020 8:30 pm
Ελάχιστο λόγου.pngΣτο θέμα που ακολουθεί ενδέχεται να μην υπάρχει γενική λύση , οπότε ας λυθεί τουλάχιστον η εφαρμογή .

Ισοσκελές τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O , R) . Σημείο S κινείται στο μικρό τόξο \overset{\frown}{AC} .

Η BS τέμνει την AC στο T . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου : \dfrac{BT}{TS} . ( R=5 , BC=8 ) .
Εικάζω (δεν έχω απόδειξη ακόμα) ότι η ελάχιστη τιμή του λόγου επιτυγχάνεται όταν η BS είναι διχοτόμος.

Τότε ο λόγος γίνεται \displaystyle \frac{{{a^2} + 2ab}}{{{b^2}}} και για την εφαρμογή \displaystyle \frac{4}{5}\left( {\sqrt 5  + 1} \right)

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Αύγ 06, 2020 7:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5530
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστο λόγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Αύγ 06, 2020 6:50 pm

Μία γρήγορη αντίληψη.

\displaystyle{\frac{{BT}}{{TS}} = \frac{{\left( {ABT} \right)}}{{\left( {ATS} \right)}} = \frac{h}{x}} με το x να γίνεται μέγιστο, άρα ο λόγος \displaystyle{\frac{{BT}}{{TS}}} ελάχιστος, όταν το S είναι μέσο του μικρού τόξου AC.
Όπου h η σταθερή απόσταση της B από την AC και x η απόσταση (μεταβαλλόμενη) του S από την AC.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστο λόγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 06, 2020 7:16 pm

Δείτε τι έγραφε ο σπουδαίος Στάθης Κούτρας για τον Σωτήρη πριν τέσσερα χρόνια εδώ .

Σωτήρη , χρόνια πολλά !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9783
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο λόγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 07, 2020 4:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Αύγ 05, 2020 8:30 pm
Ελάχιστο λόγου.pngΣτο θέμα που ακολουθεί ενδέχεται να μην υπάρχει γενική λύση , οπότε ας λυθεί τουλάχιστον η εφαρμογή .

Ισοσκελές τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O , R) . Σημείο S κινείται στο μικρό τόξο \overset{\frown}{AC} .

Η BS τέμνει την AC στο T . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου : \dfrac{BT}{TS} . ( R=5 , BC=8 ) .
Ελάχιστο λόγου.png
Ελάχιστο λόγου.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Θεωρώ σημείο P της AC ώστε SP||BC. Είναι, \displaystyle \frac{{BT}}{{TS}} = \frac{a}{{PS}}. Αρκεί λοιπόν να βρω πότε μεγιστοποιείται το PS,

πράγμα που, σύμφωνα με αυτήν, συμβαίνει όταν το S είναι μέσο του μικρού τόξου \overset\frown{AC}. Δηλαδή η BS είναι διχοτόμος της \widehat B.

Από τον τύπο της διχοτόμου και τη σχέση \displaystyle BT \cdot TS = AT \cdot TC προκύπτει ο γενικός τύπος \boxed{{\left( {\frac{{BT}}{{TS}}} \right)_{\min }} = \frac{{{a^2} + 2ab}}{{{b^2}}}}

Με χίλια βάσανα κατάφερα να την ανεβάσω εξαιτίας του General Error!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης