Εσωτερικό σημείο τριγώνου

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Εσωτερικό σημείο τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Μάιος 30, 2020 12:47 am

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές \alpha ,\beta ,\gamma και ένα σημείο απέχει από τις απέναντι τους κορυφές αποστάσεις αντιστοίχως p,q,r.
Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το σημείο να ανήκει στην περίμετρο του τριγώνου ή να είναι εσωτερικό σημείο του.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικό σημείο τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιουν 01, 2020 10:36 pm

Μία «μακροσκελής» ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι η:

\sqrt {{\tau _1}\left( {{\tau _1} - a} \right)\left( {{\tau _1} - q} \right)\left( {{\tau _1} - r} \right)} +\sqrt {{\tau _2}\left( {{\tau _2} - b} \right)\left( {{\tau _2} - r} \right)\left( {{\tau _2} - p} \right)}  + \sqrt {{\tau _3}\left( {{\tau _3} - c} \right)\left( {{\tau _3} - p} \right)\left( {{\tau _3} - q} \right)}  = \sqrt {\tau \left( {\tau  - a} \right)\left( {\tau  - b} \right)\left( {\tau  - c} \right)} ,

όταν \displaystyle{{\tau _1} = \frac{{a + q + r}}{2},\;\,{\tau _2} = \frac{{b + p + r}}{2},\;{\tau _3} = \frac{{c + p + q}}{2},\;\tau  = \frac{{a + b + c}}{2}.}


Προέρχεται από την \left( {PBC} \right) + \left( {PCA} \right) + \left( {PAB} \right) = \left( {ABC} \right).


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εσωτερικό σημείο τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιουν 02, 2020 12:03 am

Kαλησπέρα σε όλους. Μια διαφορετική, επίσης μακροσκελής διαδικασία. Ξεκινώ με τα σημεία στην περίμετρο. Δεν έχω επεξεργαστεί ακόμα τη συνθήκη για τα εσωτερικά σημεία:

Σημείο σε τρίγωνο.png
Σημείο σε τρίγωνο.png (75.54 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Έστω  \displaystyle 0 < c \le b \le a < b + c δίχως να χαλά η γενικότητα.

Εφόσον είναι γνωστές οι πλευρές a, b, c είναι γνωστές και οι γωνίες A, B, C,
αφού  \displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}},\;\;\sigma \upsilon \nu B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}},\;\;\sigma \upsilon \nu C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} .

Έστω σημείο M, τέτοιο ώστε MA=p, MB=q, MC=r.

Αν το M είναι στη BC, τότε q+r = a και MA=p, οπότε επιλέγουμε τυχαίο r ώστε  \displaystyle 0 < r \le a και q=a-r.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο AMC είναι

 \displaystyle {p^2} = {r^2} + {b^2} - 2rb \cdot \sigma \upsilon \nu C \Leftrightarrow p = \sqrt {{r^2} + {b^2} - r \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{a}}

Αντίστοιχα αν το Μ είναι σημείο της AC, τότε p+r = b και MB=q, οπότε επιλέγουμε τυχαίο r ώστε  \displaystyle 0 < r \le b και p=b-r.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο AMB είναι

 \displaystyle {q^2} = {r^2} + {c^2} - 2rc \cdot \sigma \upsilon \nu A \Leftrightarrow q = \sqrt {{r^2} + {c^2} - r \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{b}}

Τέλος αν το Μ είναι σημείο της AB, τότε p+q = c και MC=r, οπότε επιλέγουμε τυχαίο q ώστε  \displaystyle 0 < q \le c και p=c-q.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο AMC είναι

 \displaystyle {r^2} = {p^2} + {b^2} - 2pb \cdot \sigma \upsilon \nu A \Leftrightarrow r = \sqrt {{p^2} + {b^2} - p \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{c}}


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικό σημείο τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Ιουν 03, 2020 6:31 pm

Γεια σας
Ευχαριστώ τον Σωτήρη και τον Γιώργο για την ενασχόληση τους με το θέμα.
Δυστυχώς η μόνη σύντομη προσέγγιση που έχω χρησιμοποιεί αντίστροφες κυκλικές συναρτήσεις.

Μία πρώτη προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν η ακόλουθη. Εισάγουμε συντεταγμένες, υπολογίζουμε τις βαρυκεντρικές συντεταγμένες του P ως προς τις κορυφές του τριγώνου και απαιτούμε και οι τρεις να είναι μη αρνητικές. Το υπλογιστικό φορτίο είναι εμφανές και δεν μπαίνε στον κόπο να την γράψω.

Μία δεύτερη προσέγγιση είναι η ακόλουθη:
Έστω A,B,\Gamma οι κορυφές του τριγώνου. Το σημείο P βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ή στην περίμετρο του αν και μόνο αν
\widehat{BP\Gamma }+\widehat{\Gamma PA}+\widehat{APB}=2\pi
συνημίτονα των τριών αυτών γωνιών είναι:
\frac{q^{2}+r^{2}-\alpha ^{2}}{2qr},\frac{r^{2}+p^{2}-\beta ^{2}}{2rp},\frac{p^{2}+q^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}
και επομένως αφού η συνάρτηση συνιμήτονο είναι αντιστρέψιμη στο \left[ 0,\pi \right] οπότε η ζητούμενη συνθήκη είναι

\boxed{\arccos \left( \frac{q^{2}+r^{2}-\alpha ^{2}}{2qr}\right) +\arccos \left( \frac{r^{2}+p^{2}-\beta ^{2}}{2rp}\right) +\arccos \left( \frac{p^{2}+q^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}\right) =2\pi}

Μία τρίτη έχουμε αν θέλουμε να αποφύγουμε τις αντίστροφες κυκλικές συναρτήσεις. Σημειωτέον ότι ενώ δουλεύουμε με δυνάμεις-ρίζες και εκθετικές -λογαρίθμικές αυτές απουσιάζουν από τα σχολικά μας προγράμματα (όταν ήμουν μαθητής διδάσκονταν σε όλους). Τότε έχουμε παραπάνω δουλειά.
Παρατηρούμε ότι ισχύει \widehat{BP\Gamma }+\widehat{\Gamma PA}+\widehat{APB}=2\pi \Leftrightarrow \cos \left( \widehat{BP\Gamma }+\widehat{\Gamma PA}+\widehat{APB}\right) =1
Το ανάπτυγμα του α΄ μέλους της παραπάνω σχέσης βρίκεται κατά τα γνωστά (Στην παλιά σχολική Τριγωνομετρία του Ι. Πανάκη υπήρχε σχετικός τύπος). Είναι
\cos \left( \widehat{BP\Gamma }+\widehat{\Gamma PA}+\widehat{APB}\right) =\underset{B,\Gamma }{\dprod \cos \left( \widehat{BP\Gamma }\right) }-\underset{B,\Gamma }{\dsum }\sin \left( \widehat{BP\Gamma }\right) \sin \left( \widehat{\Gamma PA}\right) \cos \left( \widehat{APB}\right)
όπου το γινόμενο και το άθροισμα λαμβάνονται κυκλικά.
Έτσι η συνθήκη είναι η:
\cos \left( \widehat{BP\Gamma }+\widehat{\Gamma PA}+\widehat{APB}\right) =\underset{B,\Gamma }{\Pi }\cos \left( \widehat{BP\Gamma }\right) -\underset{B,\Gamma }{\Sigma }\sin \left( \widehat{BP\Gamma }\right) \sin \left( \widehat{\Gamma PA}\right) \cos \left( \widehat{APB}\right)
δηλαδή η
\frac{q^{2}+r^{2}-\alpha ^{2}}{2qr}\cdot \frac{r^{2}+p^{2}-\beta ^{2}}{2rp}\cdot \frac{p^{2}+q^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}=
1+\sqrt{1-\left( \frac{q^{2}+r^{2}-\alpha ^{2}}{2qr}\right) ^{2}}\sqrt{1-\left( \frac{r^{2}+p^{2}-\beta ^{2}}{2rp}\right) ^{2}}\frac{p^{2}+q^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}+\sqrt{1-\left( \frac{r^{2}+p^{2}-\beta ^{2}}{2rp}\right) ^{2}}\sqrt{1-\left( \frac{p^{2}+q^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}\right) ^{2}}\frac{q^{2}+r^{2}-\alpha ^{2}}{2qr}+\sqrt{1-\left( \frac{p^{2}+r^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}\right) ^{2}}\sqrt{1-\left( \frac{r^{2}+p^{2}-\beta ^{2}}{2rp}\right) ^{2}}\frac{p^{2}+q^{2}-\gamma ^{2}}{2pq}


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εσωτερικό σημείο τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 03, 2020 8:54 pm

Νίκο καλησπέρα.

Επισυνάπτω ένα αρχείο geogebra, στο οποίο αλλάζοντας τους δρομείς, επιβεβαιώνεται η συνθήκη ταύτισης του M στη BC για τις διάφορες τιμές του r, που έγραψα την παραπάνω ανάρτηση.

Για εσωτερικά σημεία δεν βρήκα κάτι "γήινο". Μια συνθήκη είναι η κομψή πρόταση που διατύπωσε ο Σωτήρης παραπάνω με τα εμβαδά.

Μια άλλη παρατήρηση είναι ότι οι γωνίες AMB, AMC, BMC οφείλουν να είναι και οι τρεις κυρτές. Δεν μπορώ όμως να το διατυπώσω αλγεβρικά.

Σημείο σε τρίγωνο.png
Σημείο σε τρίγωνο.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


Επίσης, θυμήθηκα μια άλλη ικανή και αναγκαία συνθήκη που είχαμε διατυπώσει με τον Δημήτρη Ντρίζο στο Συνέδριο στην Καρδίτσα.

Σε τρίγωνο ABC παίρνουμε τα μέσα L, N, K των BC, AC, AB αντίστοιχα.

Σημείο σε τρίγωνο (1).png
Σημείο σε τρίγωνο (1).png (28.85 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Ένα σημείο M του επιπέδου του τριγώνου βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου αν και μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα

 \displaystyle d\left( {M,\;KN} \right) \le \frac{{{\upsilon _\alpha }}}{2},\;\;d\left( {M,\;KL} \right) \le \frac{{{\upsilon _b}}}{2},\;d\left( {M,\;LN} \right) \le \frac{{{\upsilon _c}}}{2}, έτσι ώστε το M να είναι ταυτόχρονα εσωτερικό στις λωρίδες που ορίζουν οι πλευρές του και οι παράλληλές τους από τις απέναντι κορυφές.

Και πάλι, όμως, δεν είναι εύκολο να συνδυαστεί με τα p, q, r της υπόθεσης.
Πάντως το θέμα είναι ενδιαφέρον. Και μόνο η ερευνητική ενασχόληση έχει αξία!
Συνημμένα
Σημείο σε τρίγωνο.ggb
(17.08 KiB) Καμία μεταφόρτωση ακόμη


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης