Μεγάλες κατασκευές 37

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12471
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 37

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 10, 2020 2:47 pm

Μεγάλες  κατασκευές 37.png
Μεγάλες κατασκευές 37.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές
Θέτω το πρόβλημα αλλά δεν έχω - εισέτι - λύση : Στη βάση BC , τριγώνου ABC να εντοπισθεί

σημείο S , ώστε αν A' είναι το συμμετρικό του A ως προς S , να προκύψει : \widehat{BA'S}=\widehat{CA'S} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 37

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 11, 2020 1:16 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 10, 2020 2:47 pm
Μεγάλες κατασκευές 37.pngΘέτω το πρόβλημα αλλά δεν έχω - εισέτι - λύση : Στη βάση BC , τριγώνου ABC να εντοπισθεί

σημείο S , ώστε αν A' είναι το συμμετρικό του A ως προς S , να προκύψει : \widehat{BA'S}=\widehat{CA'S} .
Με τις συντεταγμένες του σχήματος, a,b,c>0, είναι:
Μεγάλες κατασκευές.37.png
Μεγάλες κατασκευές.37.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές
\displaystyle \frac{{\overrightarrow {A'S}  \cdot \overrightarrow {A'C} }}{{(A'S)(A'C)}} = \cos \theta  = \frac{{\overrightarrow {A'S}  \cdot \overrightarrow {A'B} }}{{(A'S)(A'B)}} \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - cx + {a^2}}}{{A'C}} = \frac{{2{x^2} + bx + {a^2}}}{{A'B}} (1)

Αλλά από θεώρημα διχοτόμου, \displaystyle \frac{{A'C}}{{A'B}} = \frac{{c - x}}{{b + x}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{4{x^3} + 3(b - c){x^2} + 2({a^2} - bc)x + {a^2}(b - c) = 0}



Κάπου εδώ, νομίζω ότι πρέπει να εγκαταλείψουμε την προσπάθεια κατασκευής. Ενδιαφέρον παρουσιάζει όμως

η περίπτωση του ισοσκελούς (AB=AC). Τότε μία σίγουρη θέση του S είναι το μέσο της BC, ενώ παίζουν

και άλλες δύο θέσεις για a<b, (*) και είναι \boxed{x =  \pm \sqrt {\frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}} }



(*) a, b είναι οι συντεταταγμένες στο σχήμα και όχι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5604
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 37

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μαρ 12, 2020 9:39 pm

Πράγματι από τη στιγμή που ο Γιώργος κατάληξε σε πλήρη εξίσωση τρίτου βαθμού δεν έχουμε γεωμετρική κατασκευή.

Ας δούμε λοιπόν με άλλο μάτι τη περίπτωση που έχουμε AB = AC.

Έστω {BB_1} =AB, {CC_1}=AC, Q \equiv \left\{ {AS} \right\} \cap \left\{ {{B_1}{C_1}} \right\}, οπότε αρκεί να προσδιορίσουμε το Q.

Έχουμε σε ισχύ τις σχέσεις \frac{{BS}}{{SC}} = \frac{{QB}}{{QC}},\;\;\frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{Q{B_1}}}{{Q{C_1}}}, \frac{{QB}}{{Q{B_1}}} = \frac{{QC}}{{Q{C_1}}}\;\,\left( 1 \right). Θεωρούμε την {C_1}{g{'}}\parallel B{B_1}, οπότε \frac{{QB}}{{Q{B_1}}} = \frac{{QN}}{{Q{C_1}}}\;\,\left( 2 \right).

Από τις \left( 1 \right),\;\left( 2 \right) αρκεί να κατασκευάσουμε το Q ώστε QN=QC, αφού τα S θα προκύψουν άμεσα.

Θεωρούμε τον κύκλο q με την ιδιότητα τα σημεία του τόξου CA'B να βλέπουν την BC υπό γωνία\angle C{C_1}{B_1} = \angle {C_1}{B_1}B.

Η τομή των {C_1}g',\;\,q δίνει τα σημεία Q,\;A' που με τη σειρά τους δίνουν ως τομές τα σημεία Q, M', και βέβαια υπάρχει και το σημείο Q’,

συμμετρικό του Q ως προς M’, μέσο της {B_1}{C_1}.
KATASK..png
KATASK..png (27.9 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες