Απολλώνιος
Συντονιστής: gbaloglou
Απολλώνιος
Από την πρόταση ιβ', με την οποία αποδεικνύεται η ιδ' των κωνικών β' που ανέφερε ο Αλέξανδρος, σε ελεύθερη κι... άνετη απόδοση:
Έστω σημείο Α υπερβολής και τα σημεία Β, Γ των ασυμπτώτων της. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ διατηρούν σταθερή διεύθυνση, να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ είναι σταθερό.
Έστω σημείο Α υπερβολής και τα σημεία Β, Γ των ασυμπτώτων της. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ διατηρούν σταθερή διεύθυνση, να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ είναι σταθερό.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Απολλώνιος
rek2 έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 07, 2020 1:33 pmΑπό την πρόταση ιβ', με την οποία αποδεικνύεται η ιδ' των κωνικών β' που ανέφερε ο Αλέξανδρος, σε ελεύθερη κι... άνετη απόδοση:
Έστω σημείο Α υπερβολής και τα σημεία Β, Γ των ασυμπτώτων της. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ διατηρούν σταθερή διεύθυνση, να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ είναι σταθερό.
Θεωρούμε την υπερβολή και έστω το κέντρο της. Από το σημείο φέρουμε τα παράλληλα τμήματα και προς τα τμήματα και αντίστοιχα, με τo σημείo να ανήκει στην υπερβολή και σε μια από τις ασυμπτώτους.
Έστω και οι προβολές του σημείου στις αυσμπτώτους και αντίστοιχα και οι προβολές του στις ασυμπτώτους. Από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν έχουμε τις αναλογίες
Πολλλαπλασιάζοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχουμε
Όμως ισχύει , εφαρμογή του σχολικού βιβλίου στο κεφάλαιο της υπερβολής. Οπότε έχουμε
Το γινόμενο όμως είναι σταθερό, αφού τα τμήματα και έχουν σταθερές σχετικά μεταξύ τους διευθύνσεις και το σημείο είναι σταθερό.
Re: Απολλώνιος
Εναλλακτικά,με έναν κατάλληλο αφινικό μετασχηματισμό μπορούμε να ανάγουμε το θέμα στην περίπτωση ισοσκελούς Υπερβολής στο πρώτο-τρίτο τεταρτημόριο με .
Τότε είναι και το γινόμενο είναι σταθερό (,..
Τότε είναι και το γινόμενο είναι σταθερό (,..
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Απολλώνιος
Μιά που το είδαμε και μας άρεσε είπαμε να πούμε ένα γειά στον Άριστο Μαθηματικό και φίλο Κώστα, που δεν κρύβουμε ότι τον έχουμε επιθυμήσει.
Άρα:
Είναι γνωστή η ιδιότητα:
Το γινόμενο των αποστάσεων τυχόντος σημείου μίας υπερβολής από τις ασύμπτωτες της είναι σταθερό.
Λόγω των σταθερών διευθύνσεων τα ορθογώνια τρίγωνα σε τυχούσα θέση δημιουργούν δύο κλάσεις αντίστοιχα όμοιων τριγώνων, οπότε και το γινόμενο των υποτείνουσων τους είναι σταθερό ή και με τριγωνομετρία λόγω της σταθερότητας των γωνιών (άρα και των τριγωνομετρικών τους αριθμών), που αναφέρει ως δεδομένες ο Κώστας.
Άρα:
Είναι γνωστή η ιδιότητα:
Το γινόμενο των αποστάσεων τυχόντος σημείου μίας υπερβολής από τις ασύμπτωτες της είναι σταθερό.
Λόγω των σταθερών διευθύνσεων τα ορθογώνια τρίγωνα σε τυχούσα θέση δημιουργούν δύο κλάσεις αντίστοιχα όμοιων τριγώνων, οπότε και το γινόμενο των υποτείνουσων τους είναι σταθερό ή και με τριγωνομετρία λόγω της σταθερότητας των γωνιών (άρα και των τριγωνομετρικών τους αριθμών), που αναφέρει ως δεδομένες ο Κώστας.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Απολλώνιος
Ας δούμε τι λέει ο Απολλώνιος:
Στην πρόταση η΄ απέδειξε ότι . Αυτό για τυχούσα τέμνουσα ΑΗΔΓ.
Τώρα από τις παραλληλίες παίρνει, σαν να λέμε, τις αναλογίες
και αφού τα πρώτα μέλη είναι ίσα κ.λπ., τελειώνει την απόδειξη.
Λέγω, όμως, ότι στην ανάγνωση του αρχαίου κειμένου είναι η μαγεία! Άλλο να διαβάζεις Απολλώνιο και άλλο να διαβάζεις ... Ρεκούμη! Άλλο να πίνεις νερό από την πηγή και άλλο να πίνεις από το ... λάστιχο
Το άρωμα, η μουσική, η υφή, η απλότητα, η δύναμη του νου του κ.λπ., κ.λπ. δεν μεταφράζονται.
Στην πρόταση η΄ απέδειξε ότι . Αυτό για τυχούσα τέμνουσα ΑΗΔΓ.
Τώρα από τις παραλληλίες παίρνει, σαν να λέμε, τις αναλογίες
και αφού τα πρώτα μέλη είναι ίσα κ.λπ., τελειώνει την απόδειξη.
Λέγω, όμως, ότι στην ανάγνωση του αρχαίου κειμένου είναι η μαγεία! Άλλο να διαβάζεις Απολλώνιο και άλλο να διαβάζεις ... Ρεκούμη! Άλλο να πίνεις νερό από την πηγή και άλλο να πίνεις από το ... λάστιχο
Το άρωμα, η μουσική, η υφή, η απλότητα, η δύναμη του νου του κ.λπ., κ.λπ. δεν μεταφράζονται.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Απολλώνιος
Σωτήρη, Γίγαντα, σε επιθυμήσαμε ομοίως!S.E.Louridas έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 4:52 pmΜιά που το είδαμε και μας άρεσε είπαμε να πούμε ένα γειά στον φίλο Κώστα, που δεν κρύβουμε ότι τον έχουμε επιθυμήσει.
Να είσαι πάντα καλά, γερός, δυνατός, να γράφεις να σε διαβάζουμε και να μαθαίνουμε από εσένα!!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Απολλώνιος
Και αν επιτρέπεται να προσθέσω σε αυτό, τα λόγια του van der Waerden από το βιβλίο του Αφύπνιση της Επιστήμης, που δίνουν άλλη μια συναρπαστική παράμετρο διαβάζοντας τον Απολλώνιο: "Ο Απολλώνιος ως δεξιοτέχνης κατέχει την γεωμετρική άλγεβρα, αλλά με ακόμα περισσότερη δεξιοτεχνεία μπορεί να κρύβει την αρχική πορεία της σκέψης του. Για αυτό είναι δύσκολο να κατανοήσει κανείς το βιβλίο του, η συλλογιστική του είναι κομψή και πεντακάθαρα κατανοητή, αλλά τι ακριβώς τον οδήγησε σε αυτό το συλλογισμό και όχι σε κάποιο άλλο, μπορεί κάποιος παρά μόνο να μαντεύει."
Re: Απολλώνιος
Αλέξανδρε καλησπέρα! Εύχομαι τα καλύτερα για σένα! Καλές μεταφράσεις!Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Μαρ 10, 2020 6:00 pmΚαι αν επιτρέπεται να προσθέσω σε αυτό, τα λόγια του van der Waerden από το βιβλίο του Αφύπνιση της Επιστήμης, που δίνουν άλλη μια συναρπαστική παράμετρο διαβάζοντας τον Απολλώνιο: "Ο Απολλώνιος ως δεξιοτέχνης κατέχει την γεωμετρική άλγεβρα, αλλά με ακόμα περισσότερη δεξιοτεχνεία μπορεί να κρύβει την αρχική πορεία της σκέψης του. Για αυτό είναι δύσκολο να κατανοήσει κανείς το βιβλίο του, η συλλογιστική του είναι κομψή και πεντακάθαρα κατανοητή,
αλλά τι ακριβώς τον οδήγησε σε αυτό το συλλογισμό και όχι σε κάποιο άλλο, μπορεί κάποιος παρά μόνο να μαντεύει."
Κάπως έτσι ήταν η τέχνη στην Αρχαία Ελλάδα. Σαν να λέει: αυτό είναι το δημιούργημα, δες το, τέρψου, εμπνεύσου. Πως το έφτειαξα είναι άλλη ιστορία. Ακόμα και ο Πλάτωνας έκρυβε τα ίχνη του. Απέφευγε να παραβιάσει αρρήτων έπεων πύλας, με επίκληση στους μύθους του.
(Ας μη μιλήσουμε για Πυθαγόρα, που το … τερμάτισε!)
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες