Δυο ακρότατα...

#1

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος αυτού. Μεταβλητό σημείο
$\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στην πλευρά $\displaystyle{BC}$ και η ευθεία που ορίζει με την κορυφή $\displaystyle{A}$
τέμνει το περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο $\displaystyle{N}$ .

: Δυο ακρότατα....png (15 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Ζητούμε:
1ο) Σε ποια θέση το γινόμενο $\displaystyle{(AM)(MN)}$ γίνεται μέγιστο;
2ο) Σε ποια θέση το μήκος του τμήματος $\displaystyle{(MN)}$ γίνεται μέγιστο;
(Στη μελέτη μπορεί να χρησιμοποιηθεί και λογισμικό)

KARKAR · #2

Στο πρώτο η απάντηση είναι σχεδόν προφανής :

: 2 μέγιστα.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Επειδή :

, η μεγαλύτερη τιμή του (AM)(MN)

ισούται με $\dfrac{a^2}{4}$ και επιτυγχάνεται όταν το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

.

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2020 11:15 pm
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος αυτού. Μεταβλητό σημείο
$\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στην πλευρά $\displaystyle{BC}$ και η ευθεία που ορίζει με την κορυφή $\displaystyle{A}$
τέμνει το περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο $\displaystyle{N}$ .
Δυο ακρότατα....png
Ζητούμε:
1ο) Σε ποια θέση το γινόμενο $\displaystyle{(AM)(MN)}$ γίνεται μέγιστο;
2ο) Σε ποια θέση το μήκος του τμήματος $\displaystyle{(MN)}$ γίνεται μέγιστο;
(Στη μελέτη μπορεί να χρησιμοποιηθεί και λογισμικό)

Το 1ο) ερώτημα όπως ο KARKAR. Στο 2ο) θα γράψω το σκεπτικό και την προς μελέτη συνάρτηση.

: Δύο ακρότατα.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές

Από τις τέμνουσες του κύκλου: $\displaystyle AM \cdot MN = x(a - x)$

Θεώρημα $\displaystyle {\rm{Stewart}}:$ $\displaystyle {b^2}x + {c^2}(a - x) = aA{M^2} + ax(a - x) \Leftrightarrow AM = \sqrt {\frac{{a{x^2} + ({b^2} - {c^2} - {a^2})x + a{c^2}}}{a}}$

Έχουμε λοιπόν να μελετήσουμε τη συνάρτηση $\boxed{f(x) = MN = \frac{{(ax - {x^2})\sqrt a }}{{\sqrt {a{x^2} + ({b^2} - {c^2} - {a^2})x + a{c^2}} }}}$

Τα υπόλοιπα είναι θέμα λογισμικού. Στο συγκεκριμένο σχήμα έχω πάρει c=5, a=6, b=7

που δίνουν:

$\displaystyle f(x) = \frac{{6x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 25} }}$ με μέγιστη τιμή $\boxed{M{N_{\max }} \simeq 1,7183}$ για $\boxed{x \simeq 2.716}$

Δυο ακρότατα...

Δυο ακρότατα...

Re: Δυο ακρότατα...

Μέλη σε σύνδεση