Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

#1

Ξεκινώντας από απόπειρα επίλυσης άλλου προβλήματος (εδώ) προτείνω:

Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο εμβαδόν -- ομοίως η μέγιστη και ελάχιστη περίμετρος -- τετραπλεύρου του οποίου γνωρίζουμε τις γωνίες και μία διαγώνιο.

[Μπορούν τα παραπάνω ερωτήματα να αναχθούν σε μελέτη συνάρτησης μιας κάποιας μεταβλητής, δεν φαίνεται όμως να υπάρχει 'καθαρή' λύση, το μέγιστο εμβαδόν για παράδειγμα μπορεί να εμφανίζεται είτε στα άκρα κάποιου διαστήματος ορισμού είτε σε εσωτερικό του σημείο. Ας το δει όποιος έχει κέφι να ασχοληθεί με κάτι τέτοιο, ελπίζω να παραθέσω σκέψεις και παραδείγματα αργότερα...]

#2

Δίνω (μια κάποια) απάντηση για το εμβαδόν, αφήνοντας την περίμετρο για αργότερα:

Ξεκινάμε με (κυρτό) τετράπλευρο ABCD

, όπου η διαγώνιος

είναι σταθερή, έστω μήκους

, το ίδιο και οι γωνίες $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ . Θέτουμε $\angle ABD=x$ , $\angle CBD=y$ , $\angle CDB =z$ , $\angle ADB =w$ , έτσι ώστε $x+y=\beta$ , $z+w=\delta$ , $w=\pi-x-\alpha$ , $z=\pi-y-\gamma$ , κλπ (Βλέπε και συνημμένο.)

Θεωρώντας τα κάθετα προς την

ύψη των τριγώνων ABD

και

και εφαρμόζοντας Νόμο Ημιτόνων υπολογίζουμε εύκολα τα εμβαδά τους και προσθέτοντας τα φτάνουμε εύκολα στην συνάρτηση-εμβαδόν για το ABCD

:

$E(x)=\dfrac{d^2sinxsin(x+\alpha)}{2sin\alpha}+\dfrac{d^2sin(\beta-x)sin(\beta+\gamma-x)}{2sin\gamma},$

όπου

ΜΑΧ{

, $\beta+\gamma-\pi$ } <x<

ΜΙΝ{ $\beta$ , $\pi-\alpha$ }.

... Θα έλεγα ότι ο παραπάνω προσδιορισμός του πεδίου ορισμού απαιτεί περισσότερη προσοχή από τον προσδιορισμό της συνάρτησης! Έλεγξα τα αποτελέσματα μου κατά αρκετούς τρόπους (βλέπε και παραδείγματα στο συνημμένο), και πιστεύω ότι δεν υπάρχει λάθος. Πάντως δεν μπορώ να πω ότι έχω καλή εποπτεία του προβλήματος... Για παράδειγμα, δεν μου είναι εύκολο να πω πότε η συνάρτηση-εμβαδόν μεγιστοποιείται σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού (μηδενισμός παραγώγου)* και πότε σε ένα από τα δύο άκρα του: δίνω κάποια παραδείγματα -- γράφημα συνάρτησης-εμβαδού για διάφορες τιμές (σε ακτίνια) των γωνιών $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ και d=1

-- στο συνημμένο, οι όποιες παρατηρήσεις ευπρόσδεκτες!

* για εξέταση μηδενισμού παραγώγου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τον τύπο

$E(x)=\dfrac{d^2}{4}\left[\dfrac{cos\alpha-cos(2x+\alpha)}{sin\alpha}+\dfrac{cos\gamma-cos(2\beta+\gamma-2x)}{sin\gamma}\right].$

: BD-abcd.png (46.83 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

#3

Συνεχίζω (και τελειώνω) με την περίμετρο:

Χρησιμοποιώντας την ορολογία και μέθοδο της προηγούμενης δημοσίευσης, εκφράζουμε την περίμετρο ως

$\Pi(x)=d\left[\dfrac{sinx+sin(x+\alpha )}{sin\alpha }+\dfrac{sin(\beta -x)+sin(\beta +\gamma -x)}{sin\gamma}\right]=$

$=d\left[\dfrac{sin(x+\alpha /2)}{sin(\alpha /2)}+\dfrac{sin(\beta +\gamma /2-x)}{sin(\gamma /2)}\right],$

όπου ΜΑΧ{

, $\beta+\gamma-\pi$ } <x<

ΜΙΝ{ $\beta$ , $\pi-\alpha$ }.

Σε θέματα μεγιστοποίησης και ελαχιστοποίησης, η περίμετρος συμπεριφέρεται ανάλογα με το εμβαδόν, οπότε δεν δίνω παραδείγματα όπως αυτά της προηγούμενης δημοσίευσης. Θα άξιζε ΙΣΩΣ τον κόπο, για όποιον έχει χρόνο και ενέργεια (και γνώση Geogebra), να μελετηθούν ειδικές περιπτώσεις όπως $\alpha +\gamma =\pi$ (εγγράψιμο τετράπλευρο), $\alpha =\gamma$ , $\beta =\delta$ . [Στην περίπτωση $\alpha =\gamma$ προκύπτει εύκολα από τους τύπους ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για $x=\dfrac{\beta }{2}$ , όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την δοθέντος μήκους διαγώνιο. Επίσης στην περίπτωση $\beta =\delta$ προκύπτει ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για $x=\dfrac{\pi -\alpha}{2}$ , οπότε $x=w=\dfrac{\pi -\alpha}{2}$ και $y=z=\dfrac{\pi -\gamma}{2}$ , όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την μεσοκάθετο της δοθέντος μήκους διαγωνίου.]

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:42 pm
[Στην περίπτωση $\alpha =\gamma$ προκύπτει εύκολα από τους τύπους ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για $x=\dfrac{\beta }{2}$ , όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την δοθέντος μήκους διαγώνιο. Επίσης στην περίπτωση $\beta =\delta$ προκύπτει ότι τόσο το εμβαδόν όσο και η περίμετρος μεγιστοποιούνται για $x=\dfrac{\pi -\alpha}{2}$ , οπότε $x=w=\dfrac{\pi -\alpha}{2}$ και $y=z=\dfrac{\pi -\gamma}{2}$ , όταν δηλαδή το τετράπλευρο είναι συμμετρικό περί την μεσοκάθετο της δοθέντος μήκους διαγωνίου.]

: abcd.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Re: Μία διαγώνιος, τέσσερις γωνίες

Μέλη σε σύνδεση