Μέγιστη αλλά μικρή

KARKAR · #1

: Μέγιστη αλλά μικρή.png (8.88 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Το ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

έχει σταθερό ύψος ενώ είναι AB=4DC

. Ονομάζω M,N

,

τα μέσα των AD,BC

αντίστοιχα . Οι MB , DN

που φυσικά δεν είναι παράλληλες ( γιατί ; ) ,

τέμνονται στο

. Πως να επιλέξουμε την βάση

, ώστε να μεγιστοποιηθεί η γωνία $\hat{S}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 2:18 pm
Μέγιστη αλλά μικρή.pngΤο ορθογώνιο τραπέζιο έχει σταθερό ύψος ενώ είναι . Ονομάζω ,

τα μέσα των αντίστοιχα . Οι που φυσικά δεν είναι παράλληλες ( γιατί ; ) ,

τέμνονται στο . Πως να επιλέξουμε την βάση , ώστε να μεγιστοποιηθεί η γωνία $\hat{S}$ ;

Έστω

και

Είναι, $AB=4x, MN=\dfrac{5x}{2}.$

: Μέγιστη αλλά μικρή.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

$\displaystyle NP|| = DM \Rightarrow DN||MP,$ άρα οι DN, MB

τέμνονται.

$\displaystyle \tan \theta = \tan (\omega - \varphi ) = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{{5x}} - \dfrac{a}{{4x}}}}{{1 + \dfrac{{2{a^2}}}{{20{x^2}}}}} \Leftrightarrow \tan \theta = \dfrac{{3ax}}{{20{x^2} + 2{a^2}}}$ και παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{a}{{\sqrt {10} }}}$

μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{{(\tan \theta )_{\max }} = \frac{3}{{4\sqrt {10} }}}$ Τότε είναι $\displaystyle AB = \frac{{4a}}{{\sqrt {10} }}$ και $\displaystyle \theta \simeq 13,34236^\circ$

Altrian · #3

Εχοντας ως βάση το σχήμα και την λογική του Γιώργου η γωνία $\angle \theta=\angle PMB$ μεγιστοποιείται όταν η

εφάπτεται στον κύκλο που διέρχεται από τα M,P,B

σταθερό.
Τότε $a^{2}=AP*AB=2,5x*4x=10x^{2}\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{10}}$

Μέγιστη αλλά μικρή

Μέγιστη αλλά μικρή

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Μέλη σε σύνδεση