Για κάνε μια στροφή

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Για κάνε μια στροφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Δευ Σεπ 09, 2019 2:46 pm

Καλησπέρα! Μία άσκηση του κ. Γακόπουλου δημοσιεύμενη στο μαθηματικό εργαστήρι.

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \displaystyle xOy σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C : y = x^2 , ( x \ge 0).

Στρέφουμε το παραπάνω σύστημα με σταθερό το σημείο O κατά γωνία \displaystyle 30^0 μοιρών και έτσι έχουμε το ορθοκανονικό σύστημα
\displaystyle  x'Oy' , στο οποίο σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C ': y' = (x')^2, (x' \ge 0).

Aπό τα σημείo \displaystyle A(2,0) \in Ox , B(3,0) \in Ox γράφουμε παράλληλες προς την Oy' οι οποίες τέμνουν τις C , C' στα σημεία \displaystyle P , Q, S, R αντίστοιχα.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν \displaystyle (PQRS) του καμπυλόγραμμου τετραπλεύρου.

Eπισυνάπτω και ένα σχήμα το οποίο δεν είναι ότι καλύτερο αλλά νομίζω βοηθάει στην κατανόηση του προβλήματος.


strofi.png
strofi.png (161.68 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές


Καλό Καλοκαίρι!

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1841
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Για κάνε μια στροφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Σεπ 09, 2019 11:55 pm

angvl έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2019 2:46 pm
Καλησπέρα! Μία άσκηση του κ. Γακόπουλου δημοσιεύμενη στο μαθηματικό εργαστήρι.

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \displaystyle xOy σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C : y = x^2 , ( x \ge 0).

Στρέφουμε το παραπάνω σύστημα με σταθερό το σημείο O κατά γωνία \displaystyle 30^0 μοιρών και έτσι έχουμε το ορθοκανονικό σύστημα
\displaystyle  x'Oy' , στο οποίο σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C ': y' = (x')^2, (x' \ge 0).

Aπό τα σημείo \displaystyle A(2,0) \in Ox , B(3,0) \in Ox γράφουμε παράλληλες προς την Oy' οι οποίες τέμνουν τις C , C' στα σημεία \displaystyle P , Q, S, R αντίστοιχα.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν \displaystyle (PQRS) του καμπυλόγραμμου τετραπλεύρου.

Eπισυνάπτω και ένα σχήμα το οποίο δεν είναι ότι καλύτερο αλλά νομίζω βοηθάει στην κατανόηση του προβλήματος.
Καλησπέρα,
Πριν αναρτήσω τη λύση παραθέτω ένα σχήμα πιο απλό και που δηλώνει μια αρχική ιδέα.

Στροφή 1.png
Στροφή 1.png (30.96 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές
Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1841
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Για κάνε μια στροφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Σεπ 10, 2019 11:25 pm

angvl έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2019 2:46 pm
Καλησπέρα! Μία άσκηση του κ. Γακόπουλου δημοσιεύμενη στο μαθηματικό εργαστήρι.

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \displaystyle xOy σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C : y = x^2 , ( x \ge 0).

Στρέφουμε το παραπάνω σύστημα με σταθερό το σημείο O κατά γωνία \displaystyle 30^0 μοιρών και έτσι έχουμε το ορθοκανονικό σύστημα
\displaystyle  x'Oy' , στο οποίο σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C ': y' = (x')^2, (x' \ge 0).

Aπό τα σημείo \displaystyle A(2,0) \in Ox , B(3,0) \in Ox γράφουμε παράλληλες προς την Oy' οι οποίες τέμνουν τις C , C' στα σημεία \displaystyle P , Q, S, R αντίστοιχα.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν \displaystyle (PQRS) του καμπυλόγραμμου τετραπλεύρου.

Eπισυνάπτω και ένα σχήμα το οποίο δεν είναι ότι καλύτερο αλλά νομίζω βοηθάει στην κατανόηση του προβλήματος.
Καλησπέρα.

Αρχικά ας σκεφτούμε στο σχήμα που δημοσίευσα στο προηγούμενο μήνυμα.
Στροφή 1.png
Στροφή 1.png (30.96 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Στο νέο σύστημα συντεταγμένων \displaystyle{x'Oy'} η τετμημένη του σημείου \displaystyle{A_o} είναι:

\displaystyle{X(A_o)=2cos(30^o)=\sqrt{3} \  \ (1) }

Όμοια η τετμημένη του σημείου \displaystyle{B_o} είναι:

\displaystyle{X(B_o)=3cos(30^o)=\frac{3\sqrt{3}}{2} \  \ (2)}

Επίσης στο νέο αυτό σύστημα συντεταγμένων η εξίσωση της \displaystyle{f_1} είναι:

\displaystyle{f_1(x)=x^2 \  \ (3)}

Το γράφημα της συνάρτησης \displaystyle{f} μπορούμε να θεωρήσουμε ότι προήλθε από το γράφημα της \displaystyle{f_1}
με στροφή γύρω από την αρχή \displaystyle{O}κατά γωνία ίση με \displaystyle{\phi=-30^o}.

Έτσι μπορούμε να εργαστούμε καλύτερα στο ακόλουθο σχήμα για απλούστευση των συμβολισμών.
Στροφή 2.png
Στροφή 2.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Στο σχήμα αυτό έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα \displaystyle{xOy} όπου το γράφημα \displaystyle{C_{f_1}} με \displaystyle{f_1(x)=x^2, \  \ x\geq 0}
έχει στραφεί κατά γωνία ίση με \displaystyle{-30^o} περί της αρχής \displaystyle{O} και έδωσε το γράφημα \displaystyle{C_f} της \displaystyle{f}.

Στην περίπτωση αυτή όμως πρέπει να βρούμε την εξίσωση της \displaystyle{f} γιατί στο σύστημα αυτό η εξίσωσή της είναι διαφορετική
από την αρχική δοθείσα, καθόσον το σύστημα \displaystyle{xOy} θεωρούμε ότι είναι το \displaystyle{x'Oy'} του αρχικού μας σχήματος,
για χάρη απλότητας και όχι το αρχικό.

Η συνέχεια σε επόμενο μήνυμα...

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1841
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Για κάνε μια στροφή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Σεπ 12, 2019 11:32 am

angvl έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2019 2:46 pm
Καλησπέρα! Μία άσκηση του κ. Γακόπουλου δημοσιεύμενη στο μαθηματικό εργαστήρι.

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \displaystyle xOy σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C : y = x^2 , ( x \ge 0).

Στρέφουμε το παραπάνω σύστημα με σταθερό το σημείο O κατά γωνία \displaystyle 30^0 μοιρών και έτσι έχουμε το ορθοκανονικό σύστημα
\displaystyle  x'Oy' , στο οποίο σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C ': y' = (x')^2, (x' \ge 0).

Aπό τα σημείo \displaystyle A(2,0) \in Ox , B(3,0) \in Ox γράφουμε παράλληλες προς την Oy' οι οποίες τέμνουν τις C , C' στα σημεία \displaystyle P , Q, S, R αντίστοιχα.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν \displaystyle (PQRS) του καμπυλόγραμμου τετραπλεύρου.

Eπισυνάπτω και ένα σχήμα το οποίο δεν είναι ότι καλύτερο αλλά νομίζω βοηθάει στην κατανόηση του προβλήματος.

Καλημέρα....


3η συνέχεια....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα που αναρτήθηκε στο προηγούμενο μήνυμα:
Στροφή 2.png
Στροφή 2.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές
Το γράφημα \displaystyle{C_{f_1}} που ανήκει στην \displaystyle{f_1(x)=x^2} και στο σύστημα \displaystyle{xOy} στρέφεται περί της αρχής \displaystyle{O}
κατά γωνία ίση με \displaystyle{\phi=-30^o} και δημιουργεί το γράφημα \displaystyle{C_f}.
Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο μήνυμα, θα βρούμε την εξίσωση της \displaystyle{f} στο σύστημα \displaystyle{xOy}.
Θεωρούμε τον πίνακα της στροφής αυτής ο οποίος είναι:

\displaystyle{A=\begin{pmatrix} 
cos\phi &-sin\phi \\  
sin\phi &cos\phi  
\end{pmatrix}}

Έτσι οι συντεταγμένες \displaystyle{(x,y)} ενός σημείου της \displaystyle{C_{f_1}} μέσω του πίνακα αυτού δίνουν τις συντεταγμένες \displaystyle{(X,Y)}
του αντίστοιχου σημείου του γραφήματος \displaystyle{C_f}.
Άρα:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
X\\Y  
 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
cos\phi &-sin\phi \\  
sin\phi &cos\phi  
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
x\\y  
 
\end{pmatrix} \  \  (1)}

Από την (1) κάνοντας πράξεις και θέτοντας \displaystyle{\phi=-30^o} προκύπτει:

\displaystyle{ \begin{matrix} 
X=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\\ \\Y=\displaystyle-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y  
 
\end{matrix} \  \ (2)}

Λύνοντας το σύστημα (2) ως προς τις συντεταγμένες \displaystyle{x,y} έχουμε:

\displaystyle{\begin{matrix} 
x=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}X-Y)\\\\y= \displaystyle\frac{1}{2}(X+\sqrt{3}Y) 
 
\end{matrix} \  \ (3)}

Όμως επειδή οι συντεταγμένες \displaystyle{(x,y)} ικανοποιούν την εξίσωση \displaystyle{y=x^2} καθώς και την ανίσωση \displaystyle{x\geq0}, άρα
από την (3) προκύπτει:

\displaystyle{(\sqrt{3}X-Y)^2=2(X+\sqrt{3}Y) \  \ (4)}

Λύνοντας την (4) ως προς \displaystyle{Y} έχουμε:

\displaystyle{Y^2-(2\sqrt{3}X+2\sqrt{3})Y-2X+3X^2=0 \  \ (5)}

Το τριώνυμο που εκφράζει η (5) έχει διακρίνουσα:

\displaystyle{D=32X+12 \  \ (6)}

Επειδή ακόμα είναι : \displaystyle{x\geq0} και \displaystyle{X\geq0} από την (6) θα είναι \displaystyle{D>0}.
Έτσι οι λύσεις της (5) είναι:

\displaystyle{Y_{1,2}=(X+1)\sqrt{3}\pm\sqrt{8X+3} \  \ (7)}

Από τις δύο αυτές τιμές δεχόμαστε την ακόλουθη:

\displaystyle{Y_{1,2}=(X+1)\sqrt{3}-\sqrt{8X+3} \  \ (8)}

διότι το γράφημα αυτής διέρχεται από την αρχή \displaystyle{O} ενώ η άλλη όχι.

Τελικά η δεύτερη συνάρτηση έχει ως εξίσωση γραμμένη με μικρά γράμματα είναι η ακόλουθη:

\displaystyle{f(x)=(x+1)\sqrt{3}-\sqrt{8x+3}, \  \ x\geq0 \  \ (9)}

Γνωρίζοντας τις συναρτήσεις αυτές και τα όρια μέσα στα οποία θέλουμε
να κινούνται εύκολα βρίσκουμε το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου από
το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{E(PQRS)=\int_{x(A_o)}^{x(B_o)}(f_1(x)-f(x))dx} = ....

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Για κάνε μια στροφή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Σεπ 12, 2019 11:51 am

KDORTSI έγραψε:
Πέμ Σεπ 12, 2019 11:32 am
angvl έγραψε:
Δευ Σεπ 09, 2019 2:46 pm
Καλησπέρα! Μία άσκηση του κ. Γακόπουλου δημοσιεύμενη στο μαθηματικό εργαστήρι.

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \displaystyle xOy σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C : y = x^2 , ( x \ge 0).

Στρέφουμε το παραπάνω σύστημα με σταθερό το σημείο O κατά γωνία \displaystyle 30^0 μοιρών και έτσι έχουμε το ορθοκανονικό σύστημα
\displaystyle  x'Oy' , στο οποίο σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της \displaystyle C ': y' = (x')^2, (x' \ge 0).

Aπό τα σημείo \displaystyle A(2,0) \in Ox , B(3,0) \in Ox γράφουμε παράλληλες προς την Oy' οι οποίες τέμνουν τις C , C' στα σημεία \displaystyle P , Q, S, R αντίστοιχα.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν \displaystyle (PQRS) του καμπυλόγραμμου τετραπλεύρου.

Eπισυνάπτω και ένα σχήμα το οποίο δεν είναι ότι καλύτερο αλλά νομίζω βοηθάει στην κατανόηση του προβλήματος.

Καλημέρα....


3η συνέχεια....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα που αναρτήθηκε στο προηγούμενο μήνυμα:

Στροφή 2.png

Το γράφημα \displaystyle{C_{f_1}} που ανήκει στην \displaystyle{f_1(x)=x^2} και στο σύστημα \displaystyle{xOy} στρέφεται περί της αρχής \displaystyle{O}
κατά γωνία ίση με \displaystyle{\phi=-30^o} και δημιουργεί το γράφημα \displaystyle{C_f}.
Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο μήνυμα, θα βρούμε την εξίσωση της \displaystyle{f} στο σύστημα \displaystyle{xOy}.
Θεωρούμε τον πίνακα της στροφής αυτής ο οποίος είναι:

\displaystyle{A=\begin{pmatrix} 
cos\phi &-sin\phi \\  
sin\phi &cos\phi  
\end{pmatrix}}

Έτσι οι συντεταγμένες \displaystyle{(x,y)} ενός σημείου της \displaystyle{C_{f_1}} μέσω του πίνακα αυτού δίνουν τις συντεταγμένες \displaystyle{(X,Y)}
του αντίστοιχου σημείου του γραφήματος \displaystyle{C_f}.
Άρα:

\displaystyle{\begin{pmatrix} 
X\\Y  
 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 
cos\phi &-sin\phi \\  
sin\phi &cos\phi  
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
x\\y  
 
\end{pmatrix} \  \  (1)}

Από την (1) κάνοντας πράξεις και θέτοντας \displaystyle{\phi=-30^o} προκύπτει:

\displaystyle{ \begin{matrix} 
X=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\\ \\Y=\displaystyle-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y  
 
\end{matrix} \  \ (2)}

Λύνοντας το σύστημα (2) ως προς τις συντεταγμένες \displaystyle{x,y} έχουμε:

\displaystyle{\begin{matrix} 
x=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}X-Y)\\\\y= \displaystyle\frac{1}{2}(X+\sqrt{3}Y) 
 
\end{matrix} \  \ (3)}

Όμως επειδή οι συντεταγμένες \displaystyle{(x,y)} ικανοποιούν την εξίσωση \displaystyle{y=x^2} καθώς και την ανίσωση \displaystyle{x\geq0}, άρα
από την (3) προκύπτει:

\displaystyle{(\sqrt{3}X-Y)^2=2(X+\sqrt{3}Y) \  \ (4)}

Λύνοντας την (4) ως προς \displaystyle{Y} έχουμε:

\displaystyle{Y^2-(2\sqrt{3}X+2\sqrt{3})Y-2X+3X^2=0 \  \ (5)}

Το τριώνυμο που εκφράζει η (5) έχει διακρίνουσα:

\displaystyle{D=32X+12 \  \ (6)}

Επειδή ακόμα είναι : \displaystyle{x\geq0} και \displaystyle{X\geq0} από την (6) θα είναι \displaystyle{D>0}.
Έτσι οι λύσεις της (5) είναι:

\displaystyle{Y_{1,2}=(X+1)\sqrt{3}\pm\sqrt{8X+3} \  \ (7)}

Από τις δύο αυτές τιμές δεχόμαστε την ακόλουθη:

\displaystyle{Y_{1,2}=(X+1)\sqrt{3}-\sqrt{8X+3} \  \ (8)}

διότι το γράφημα αυτής διέρχεται από την αρχή \displaystyle{O} ενώ η άλλη όχι.

Τελικά η δεύτερη συνάρτηση έχει ως εξίσωση γραμμένη με μικρά γράμματα είναι η ακόλουθη:

\displaystyle{f(x)=(x+1)\sqrt{3}-\sqrt{8x+3}, \  \ x\geq0 \  \ (9)}

Γνωρίζοντας τις συναρτήσεις αυτές και τα όρια μέσα στα οποία θέλουμε
να κινούνται εύκολα βρίσκουμε το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου από
το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{E(PQRS)=\int_{x(A_o)}^{x(B_o)}(f_1(x)-f(x))dx} = ....

Κώστας Δόρτσιος


Καλημέρα κ. Κώστα! :welcomeani: :notworthy: :notworthy: :notworthy: :clap2: :clap2: :clap2:


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες