Ποσοστό κάλυψης

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: Ποσοστό κάλυψης..PNG (8.83 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Για το τρίγωνο ABC

ισχύουν

και $3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0}$ . Από το $H \in BC$ φέρω $HN \perp AB$ .

Η

τέμνει το ύψος

στο

και η

τέμνει την

στο

. Αν είναι και $HM \perp AC$ τότε

Να βρεθεί το ποσοστό κάλυψης της επιφάνειας του τριγώνου ABC

από το τετράπλευρο (*) NHMA

(*) Μπορείτε να δώσετε κι' άλλο, πιο ..

.. απογειωμένο όνομα στο NHMA

. Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 2:25 am
Καλημέρα.
Ποσοστό κάλυψης..PNG
Για το τρίγωνο ισχύουν και $3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0}$ . Από το $H \in BC$ φέρω $HN \perp AB$ .

Η τέμνει το ύψος στο και η τέμνει την στο . Αν είναι και $HM \perp AC$ τότε

Να βρεθεί το ποσοστό κάλυψης της επιφάνειας του τριγώνου από το τετράπλευρο (*)

(*) Μπορείτε να δώσετε κι' άλλο, πιο .. .. απογειωμένο όνομα στο . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλό απόγευμα σε όλους!

Λόγω φακέλου θα είμαι αρκετά επιγραμματικός. Έστω AM=x, MH=y.

Αρχικά θα δείξω ότι

AN=x, NH=y,

δηλαδή ότι το NHMA

είναι χαρταετός.

: Ποσοστό κάλυψης.Μ.png (23.7 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

$\displaystyle \bullet$ Με νόμο ημιτόνων έχω, $\displaystyle \frac{{\sin C}}{{\sin A}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (2A - \pi )}}{{\sin A}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos A = - \frac{1}{4}}$ απ' όπου με νόμο συνημιτόνων

παίρνω $b=\dfrac{3c}{2}$ και $\boxed{(ABC) = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{3{c^2}\sqrt {15} }}{{16}}}$ και στη συνέχεια $\boxed{CD = \frac{{21c}}{{16}},BD = \frac{{11c}}{{16}}}$

$\displaystyle \bullet$ Το NDHMA

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle CH \cdot CD = CM \cdot b,BH \cdot BD = BN \cdot c,CH + BH = a = 2c$ και

από την ομοιότητα των τριγώνων CMH, CDA

αλλά και των BNH, BDA

προκύπτει ότι το NHMA

είναι χαρταετός.

$\displaystyle \bullet$ Με θεώρημα Ceva, $\displaystyle \frac{{CD}}{{BD}} \cdot \frac{{c - x}}{x} \cdot \frac{x}{{\frac{{3c}}{2} - x}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{9c}}{{20}}}$ και $\displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{y}{x} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{3c\sqrt {15} }}{{20}}}$

Τέλος, $\displaystyle (NHMA) = xy = \frac{{27{c^2}\sqrt {15} }}{{400}} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{(NHMA)}}{{(ABC)}} = \frac{{36}}{{100}}}$

Άρα, το NHMA

(που είναι χαρταετός) καλύπτει το

% της επιφάνειας του τριγώνου.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ. Ακόμη ένα ευχαριστώ στον Γιώργο για την 100 %

% κάλυψη της ...επιφάνειας του θέματος!
Λίγα λόγια κυρίως για τα ερείσματα της άσκησης.

Ι) Η

είναι διχοτόμος της $\widehat{A}$ σύμφωνα και με το θέμα ΤΟΥΤΟ.

ΙΙ) Η σχέση $3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0}$ ισοδυναμεί με την $\widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2$

και από την πρόταση ΕΔΩ προκύπτει $a^{2}=ab+c^{2}$ , ενώ και a=2c

που δίνουν b=3c/2

.

Μετά απ' αυτά η συνέχεια θεωρείται βατή.Φιλικά , Γιώργος.

Ποσοστό κάλυψης

Ποσοστό κάλυψης

Re: Ποσοστό κάλυψης

Re: Ποσοστό κάλυψης

Μέλη σε σύνδεση