Ποσοστό κάλυψης

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1465
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ποσοστό κάλυψης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μάιος 18, 2019 2:25 am

Καλημέρα.
Ποσοστό κάλυψης..PNG
Ποσοστό κάλυψης..PNG (8.83 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Για το τρίγωνο ABC ισχύουν BC=2AB και 3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0} . Από το H \in BC φέρω HN \perp AB .

Η CN τέμνει το ύψος AD στο F και η BF τέμνει την AC στο M . Αν είναι και HM \perp AC τότε

Να βρεθεί το ποσοστό κάλυψης της επιφάνειας του τριγώνου ABC από το τετράπλευρο (*) NHMA

(*) Μπορείτε να δώσετε κι' άλλο, πιο .. :) .. απογειωμένο όνομα στο NHMA. Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ποσοστό κάλυψης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 18, 2019 11:20 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Μάιος 18, 2019 2:25 am
Καλημέρα.
Ποσοστό κάλυψης..PNG
Για το τρίγωνο ABC ισχύουν BC=2AB και 3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0} . Από το H \in BC φέρω HN \perp AB .

Η CN τέμνει το ύψος AD στο F και η BF τέμνει την AC στο M . Αν είναι και HM \perp AC τότε

Να βρεθεί το ποσοστό κάλυψης της επιφάνειας του τριγώνου ABC από το τετράπλευρο (*) NHMA

(*) Μπορείτε να δώσετε κι' άλλο, πιο .. :) .. απογειωμένο όνομα στο NHMA. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλό απόγευμα σε όλους!

Λόγω φακέλου θα είμαι αρκετά επιγραμματικός. Έστω AM=x, MH=y. Αρχικά θα δείξω ότι

AN=x, NH=y, δηλαδή ότι το NHMA είναι χαρταετός.
Ποσοστό κάλυψης.Μ.png
Ποσοστό κάλυψης.Μ.png (23.7 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
\displaystyle  \bullet Με νόμο ημιτόνων έχω, \displaystyle \frac{{\sin C}}{{\sin A}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (2A - \pi )}}{{\sin A}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \boxed{\cos A =  - \frac{1}{4}} απ' όπου με νόμο συνημιτόνων

παίρνω b=\dfrac{3c}{2} και \boxed{(ABC) = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{3{c^2}\sqrt {15} }}{{16}}} και στη συνέχεια \boxed{CD = \frac{{21c}}{{16}},BD = \frac{{11c}}{{16}}}

\displaystyle  \bullet Το NDHMA είναι εγγράψιμο, οπότε \displaystyle CH \cdot CD = CM \cdot b,BH \cdot BD = BN \cdot c,CH + BH = a = 2c και

από την ομοιότητα των τριγώνων CMH, CDA αλλά και των BNH, BDA προκύπτει ότι το NHMA είναι χαρταετός.

\displaystyle  \bullet Με θεώρημα Ceva, \displaystyle \frac{{CD}}{{BD}} \cdot \frac{{c - x}}{x} \cdot \frac{x}{{\frac{{3c}}{2} - x}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{9c}}{{20}}} και \displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{y}{x} \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{3c\sqrt {15} }}{{20}}}

Τέλος, \displaystyle (NHMA) = xy = \frac{{27{c^2}\sqrt {15} }}{{400}} \Rightarrow \boxed{\frac{{(NHMA)}}{{(ABC)}} = \frac{{36}}{{100}}}

Άρα, το NHMA (που είναι χαρταετός) καλύπτει το 36% της επιφάνειας του τριγώνου.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1465
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ποσοστό κάλυψης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιουν 04, 2019 11:09 pm

Καλό βράδυ. Ακόμη ένα ευχαριστώ στον Γιώργο για την 100 % % κάλυψη της ...επιφάνειας του θέματος!
Λίγα λόγια κυρίως για τα ερείσματα της άσκησης.

Ι) Η AH είναι διχοτόμος της \widehat{A} σύμφωνα και με το θέμα ΤΟΥΤΟ.

ΙΙ) Η σχέση 3\widehat{A}+\widehat{B}=360^{0} ισοδυναμεί με την \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2

και από την πρόταση ΕΔΩ προκύπτει a^{2}=ab+c^{2} , ενώ και a=2c που δίνουν b=3c/2.

Μετά απ' αυτά η συνέχεια θεωρείται βατή.Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης