Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: Γωνία χωρίς εξαρτήσεις.PNG (8.34 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και

το μέσον της

.

Πάνω στη διχοτόμο της $\widehat{BAM}$ εντοπίζουμε το σημείο

για το οποίο ισχύει $\widehat{BEA}=\widehat{BCE}=\omega$

Να εξεταστεί αν η γωνία $\omega$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη των γωνιών του $\triangle ABC$

Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας και να ευχηθώ (λόγω της απουσίας μου) σε όλους ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ !

#2

Καλημέρα σε όλους. Εύχομαι ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ!

: 23-04-2019 Γεωμετρία.jpg (39.03 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \frac{{BE}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{{\rm B}C}}{{\eta \mu \left( {90^\circ - \theta } \right)}} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{{\rm B}C}}{{\sigma \upsilon \nu \theta }}$ (1)

Στο BEA

είναι $\displaystyle \frac{{BE}}{{\eta \mu \theta }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\eta \mu \omega }}$ (2)

Διαιρώντας τις (1) και (2) έχουμε $\displaystyle \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{\eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta }}{{\eta {\mu ^2}\omega }} = \frac{{\eta \mu 2\theta }}{{2\eta {\mu ^2}\omega }}$ (3)

Στο ABM

είναι $\displaystyle \eta \mu 2\theta = \frac{{{\rm B}{\rm M}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}C}}{{{\rm A}{\rm B}}} = 2\eta \mu 2\theta$ (4)

Από (3) και (4) έχουμε $\displaystyle \frac{{\eta \mu 2\theta }}{{2\eta {\mu ^2}\omega }} = 2\eta \mu 2\theta \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\omega = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \eta \mu \omega = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \omega = 30^\circ$ , αφού είναι οξεία γωνία(*).

(*) Πράγματι, το

είναι πλησιέστερα στο

παρά στο

, άρα στο

είναι

οπότε $\displaystyle \omega < 90^\circ$ .

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2019 2:23 am
Καλημέρα.
Γωνία χωρίς εξαρτήσεις.PNG
Το τρίγωνο έχει και το μέσον της .

Πάνω στη διχοτόμο της $\widehat{BAM}$ εντοπίζουμε το σημείο για το οποίο ισχύει $\widehat{BEA}=\widehat{BCE}=\omega$

Να εξεταστεί αν η γωνία $\omega$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη των γωνιών του $\triangle ABC$

Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σας και να ευχηθώ (λόγω της απουσίας μου) σε όλους ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ !

Καλό Πάσχα και από μένα!

: Γωνία χωρίς...εξαρτήσεις.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Από το

φέρνω κάθετη στην

που τέμνει την

στο

Προφανώς το ABEN

είναι χαρταετός και

EB=EN, BN=NC.

Είναι ακόμα, $\displaystyle E\widehat BC + B\widehat CE = 90^\circ - \omega + \theta + \omega = 90^\circ + \theta \Rightarrow$

$\displaystyle B\widehat EC = 90^\circ - \theta = \frac{{B\widehat NC}}{2}$ κι επειδή το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο του

θα είναι το περίκεντρο

του BEC.

Άρα το

είναι ισόπλευρο και $\boxed{\omega=30^\circ}$

#4

Με πιο αγνά υλικά είναι η λύση του φίλου του Γιώργου του Βισβίκη . Έχω όμως και την κατασκευή.

: Γωνία χωρίς εξαρτήσεις.png (33.55 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Κατασκευή

Έστω

η διχοτόμος του $\vartriangle ABM$ . Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

και τη κάθετο στην

στο

που το τέμνει στο

.

Επειδή $\boxed{B{P^2} = BK \cdot BC}\,\,(1)$ , γράφω τον κύκλο (B,BP)

που τέμνει τη προέκταση της

στο σημείο

. Λόγω της (1)

$B{E^2} = BK \cdot BC$ .

Δηλαδή η

εφάπτεται του κύκλου (K,E,C)

και άρα $\widehat \omega = \widehat {KCE}$ .

Υπολογισμός γωνίας

Αν η κάθετη από το

στην

κόψει την

στο

, οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK$ είναι μεσοκάθετοι των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ , άρα $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}} \Rightarrow \,\,\boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,}$

Η προηγούμενη μας εξασφαλίζει ότι

εφάπτεται του κύκλου : (K,T,C)

, οπότε:

$B{T^2} = BK \cdot BC$ που λόγω της (1)

προκύπτει ότι το τρίγωνο EBT

είναι ισόπλευρο και συνεπώς $\boxed{\widehat \omega = 30^\circ }$ .

Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Re: Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Re: Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Re: Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση