Ελάχιστος λόγος

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10408
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστος λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 14, 2019 9:10 pm

Ελάχιστος  λόγος.png
Ελάχιστος λόγος.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Σημείο S κινείται επί της διχοτόμου AD , τριγώνου \displaystyle ABC , με  b>c . Δείξτε ότι το ελάχιστο

του λόγου \dfrac{SB}{SC} επιτυγχάνεται , όταν το S συμπέσει με το έγκεντρο του τριγώνου και υπολογίστε

τον λόγο αυτό συναρτήσει των πλευρών a,b,c του τριγώνου . Εφαρμογή : a=9 , b=7 , c=6



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3874
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ελάχιστος λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 14, 2019 11:15 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 9:10 pm
Ελάχιστος λόγος.pngΣημείο S κινείται επί της διχοτόμου AD , τριγώνου \displaystyle ABC , με  b>c . Δείξτε ότι το ελάχιστο

του λόγου \dfrac{SB}{SC} επιτυγχάνεται , όταν το S συμπέσει με το έγκεντρο του τριγώνου και υπολογίστε

τον λόγο αυτό συναρτήσει των πλευρών a,b,c του τριγώνου . Εφαρμογή : a=9 , b=7 , c=6
Από το Θεώρημα του Stewart για τα τρίγωνα \vartriangle ABD,\vartriangle ACD και τις σεβιανές BS,CS αντίστοιχα παίρνουμε:

Από το Θεώρημα του Stewart για τα τρίγωνα \vartriangle ABD,\vartriangle ACD και τις σεβιανές BS,CS αντίστοιχα παίρνουμε:

AD\left( AS\cdot SD+S{{B}^{2}} \right)=AS\cdot BD+SD\cdot AB και AD\left( AS\cdot SD+S{{C}^{2}} \right)=AS\cdot CD+SD\cdot AC οπότε λύνοντας ως προς S{{B}^{2}},S{{C}^{2}} και διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

f\left( x \right)=\dfrac{S{{B}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\dfrac{AS\cdot BD+SD\cdot AB-AD\cdot AS\cdot SD}{AS\cdot CD+SD\cdot AC-AD\cdot AS\cdot SD}= \dfrac{x\cdot \dfrac{ac}{b+c}+({{d}_{a}}-x)c-{{d}_{a}}\cdot x\cdot \left( {{d}_{a}}-x \right)}{x\cdot \dfrac{ab}{b+c}+({{d}_{a}}-x)b-{{d}_{a}}\cdot x\cdot \left( {{d}_{a}}-x \right)},x\in \left[ 0,{{d}_{a}} \right]
Για την f με παραγώγους ή αλλιώς (μέσω τριωνύμου) προκύπτει ότι το ελάχιστό της παρουσιάζεται για x=\dfrac{{{d}_{a}}\left( b+c \right)}{a+b+c}=\dfrac{{{d}_{a}}\cdot c}{c+\dfrac{ac}{b+c}} που υποδηλώνει ότι το S είναι το έγκεντρο του τριγώνου. Όσο για τον ελάχιστο λόγο θα έχουμε \min \dfrac{SB}{SC}=\sqrt{f\left( \dfrac{{{d}_{a}}\cdot c}{c+\dfrac{ac}{b+c}} \right)} και αν θεωρήσουμε γνωστόν τον τύπο (από το Θεώρημα του Stewart επίσης προκύπτει ) {{d}_{a}}=\sqrt{bc\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\left( b+c \right)}^{2}}} \right)} θα τον έχουμε σε συνάρτηση με τις πλευρές

Στάθης

Υ.Σ. Οι πράξεις παραλείπονται :?


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7714
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστος λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 15, 2019 9:10 am

Γράφω απλώς τον τελικό τύπο \boxed{{\left( {\frac{{SB}}{{SC}}} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{{c(a + c - b)}}{{b(a + b - c)}}}} και για την εφαρμογή ο λόγος γίνεται \sqrt{\dfrac{24}{35}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6279
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστος λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 15, 2019 9:23 pm

Μια σκέψη .

‘Έστω ST η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου SBC.. Ο λόγος , \dfrac{{SB}}{{SC}} ισούται με το λόγο των αποστάσεων κάθε σημείου της ST από τις SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC.

Ας είναι K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L οι προβολές του T στις SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC. Θα είναι : \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{TK}}{{TL}}

Ελάχιστος λόγος.png
Ελάχιστος λόγος.png (36.8 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Το τετράπλευρο SKTL είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου ST στον οποίο ανήκει και η προβολή E του S στη BC.

Ο λόγος \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{TK}}{{TL}} γίνεται ελάχιστος όταν η TL συμπέσει με τη διάμετρο ST και τότε το S συμπίπτει με το έγκεντρο του \vartriangle ABC.

Τότε ο λόγος ισούται με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η ST με την SB


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης