Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους.

: Τέταρτη δύναμη ...PNG (8.9 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{0}$ και είναι $EZ \perp AB$ με τα M,N

μέσα των AC,EZ

αντίστοιχα.

Οι AE,CZ

τέμνονται στο

. Αν είναι $AE \perp CZ$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEZ \right )}$ και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα M,H,N

είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

KARKAR · #2

: Τέταρτες δυνάμεις.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

Οι σχέσεις : x^2+(a-x)^2=(xk+ak)^2

και

δίνουν : $x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}a$ , οπότε : $\dfrac{(BAC)}{(BEZ)}=\phi^4$ .

Τα σημεία B,N,H,M

είναι συνευθειακά (γνωστό λήμμα για το τραπέζιο EZAC

) .

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 24, 2019 1:39 am
Καλημέρα σε όλους.
Τέταρτη δύναμη ...PNG
Το τρίγωνο του σχήματος έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{0}$ και είναι $EZ \perp AB$ με τα μέσα των αντίστοιχα.

Οι τέμνονται στο . Αν είναι $AE \perp CZ$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEZ \right )}$ και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα!

Αλλιώς για το Ι). Έστω AB=AC=a, ZA=x.

: 4η δύναμη.png (9.03 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Μενέλαος στο BCZ

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {AHE},$ $\displaystyle \frac{{EC}}{{EB}} \cdot \frac{a}{x} \cdot \frac{{ZH}}{{HC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{a - x}} \cdot \frac{a}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=x\Phi}$

$\displaystyle \frac{a}{{a - x}} = \frac{\Phi }{{\Phi - 1}} = \frac{{{\Phi ^2} - 1}}{{\Phi - 1}} = \Phi + 1 = {\Phi ^2} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{(BAC)}}{{(BEZ)}} = {\Phi ^4}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Θανάση και Γιώργογια την κάλυψη του θέματος.
Για το α' ζητούμενο , όπως στο θέμα ΕΔΩ ισχύει η γενικότερη σχέση $k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B$

και στο παρόν έχουμε tanB=1...k=m

οπότε προκύπτει $m^{2}-m-1=0\Leftrightarrow m=\Phi$ .

Τότε $AC=AB=\Phi ^{2}\cdot EZ$ άρα $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEZ \right )}=\left ( \dfrac{AC}{EZ} \right )^{2}=\Phi ^{4}$

Όσο για το β' ήταν μάλλον ..δεδομένο παρά ζητούμενο. Ίσως έπρεπε να ζητήσω κάτι λιγότερο προφανές:
Να βρεθούν γωνίες (στο αρχικό σχήμα ) που τριγωνομετρικός τους αριθμός είναι πρώτος.
Φιλικά, Γιώργος.

Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Re: Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Re: Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Re: Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Μέλη σε σύνδεση