Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1207
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 24, 2019 1:39 am

Καλημέρα σε όλους.
Τέταρτη δύναμη ...PNG
Τέταρτη δύναμη ...PNG (8.9 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές
Το τρίγωνο ABC του σχήματος έχει \widehat{B}=\widehat{C}=45^{0} και είναι EZ \perp  AB με τα M,N μέσα των AC,EZ αντίστοιχα.

Οι AE,CZ τέμνονται στο H. Αν είναι AE \perp CZ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEZ \right )} και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα M,H,N είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 24, 2019 8:03 am

Τέταρτες δυνάμεις.png
Τέταρτες δυνάμεις.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές
Οι σχέσεις : x^2+(a-x)^2=(xk+ak)^2 και x^2=xk(xk+ak)

δίνουν : x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}a , οπότε : \dfrac{(BAC)}{(BEZ)}=\phi^4 .

Τα σημεία B,N,H,M είναι συνευθειακά (γνωστό λήμμα για το τραπέζιο EZAC ) .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8949
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 24, 2019 9:44 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 24, 2019 1:39 am
Καλημέρα σε όλους.
Τέταρτη δύναμη ...PNG
Το τρίγωνο ABC του σχήματος έχει \widehat{B}=\widehat{C}=45^{0} και είναι EZ \perp  AB με τα M,N μέσα των AC,EZ αντίστοιχα.

Οι AE,CZ τέμνονται στο H. Αν είναι AE \perp CZ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEZ \right )} και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα M,H,N είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!

Αλλιώς για το Ι). Έστω AB=AC=a, ZA=x.
4η δύναμη.png
4η δύναμη.png (9.03 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές
Μενέλαος στο BCZ με διατέμνουσα \displaystyle \overline {AHE}, \displaystyle \frac{{EC}}{{EB}} \cdot \frac{a}{x} \cdot \frac{{ZH}}{{HC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{a - x}} \cdot \frac{a}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{a=x\Phi}

\displaystyle \frac{a}{{a - x}} = \frac{\Phi }{{\Phi  - 1}} = \frac{{{\Phi ^2} - 1}}{{\Phi  - 1}} = \Phi  + 1 = {\Phi ^2} \Rightarrow \boxed{\frac{{(BAC)}}{{(BEZ)}} = {\Phi ^4}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1207
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τέταρτη δύναμη και συνευθειακά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Φεβ 26, 2019 11:45 pm

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Θανάση και Γιώργογια την κάλυψη του θέματος.
Για το α' ζητούμενο , όπως στο θέμα ΕΔΩ ισχύει η γενικότερη σχέση   k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B

και στο παρόν έχουμε tanB=1...k=m οπότε προκύπτει m^{2}-m-1=0\Leftrightarrow m=\Phi .

Τότε AC=AB=\Phi ^{2}\cdot EZ άρα \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEZ \right )}=\left ( \dfrac{AC}{EZ} \right )^{2}=\Phi ^{4}

Όσο για το β' ήταν μάλλον ..δεδομένο παρά ζητούμενο. Ίσως έπρεπε να ζητήσω κάτι λιγότερο προφανές:
Να βρεθούν γωνίες (στο αρχικό σχήμα ) που τριγωνομετρικός τους αριθμός είναι πρώτος.
Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης