Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών
Συντονιστής: gbaloglou
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών
Χαιρετώ.Το θέμα που ακολουθεί έχει την αφετηρία του σε άκρως ελκυστικό λήμμα που είδα σε παλαιό θέμα .
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις ! Το τρίγωνο έχει . Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο που ανήκει στην μεσοκάθετο του .
Επί της ημιευθείας προσδιορίζουμε το ώστε .
Αν το περίκεντρο του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς τη τότε
Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις ! Το τρίγωνο έχει . Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο που ανήκει στην μεσοκάθετο του .
Επί της ημιευθείας προσδιορίζουμε το ώστε .
Αν το περίκεντρο του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς τη τότε
Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών
Γεια σου Γιώργο.Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 14, 2019 11:58 pmΧαιρετώ.Το θέμα που ακολουθεί έχει την αφετηρία του σε άκρως ελκυστικό λήμμα που είδα σε παλαιό θέμα .
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις ! Το τρίγωνο έχει . Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο που ανήκει στην μεσοκάθετο του .
Επί της ημιευθείας προσδιορίζουμε το ώστε .
Αν το περίκεντρο του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς τη τότε
Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Μία λύση με μπόλικη Τριγωνομετρία!
Έστω, .
Είναι, , και το είναι συμμετρικό του ως προς την , οπότε .
Αν δείξω ότι το τότε θα είχα ότι το είναι το περίκεντρο του , οπότε .
Για να δείξω ότι αρκεί να δείξω ότι (αφού είναι ).
Αρκεί δηλαδή .
i) Στο τρίγωνο με σεβιανές τις η τριγωνομετρική μορφή του Ceva δίνει (μετά από απλοποιήσεις) (1).
ii) Στο τρίγωνο με σεβιανές τις πάλι το trig Ceva δίνει (2).
Συνδυάζοντας τις (1), (2) προκύπτει .
Θεωρώ την συνάρτηση .
Αυτή, εύκολα προκύπτει πως είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε αφού έχουμε , θα είναι και , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών
Καλημέρα σε όλους. Σ' ευχαριστώ Ορέστη για την ευέλικτη αντιμετώπιση του θέματος!
Λίγα λόγια για τη δημιουργία του παρόντος. Αφορμή ήταν το λήμμα που ακολουθεί
(το παρουσιάζει ο αγαπητός Κώστας Βήττας σε παλαιό θέμα , αλλά τώρα δεν μπορώ να το βρώ). Λήμμα:Στο εσωτερικό ισοσκελούς ( με ) τριγώνου θεωρούμε τα σημεία ώστε να ισχύουν και .
Τότε τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έθεσα το στην μεσοκάθετο του για να είναι .
Με σκοπό οι περίκυκλοι των τριγώνων και να είναι ίσοι με ακτίνα.
Οι κύκλοι αυτοί έχουν κοινή χορδή την που είναι μεσοκάθετος της διακέντρου αυτών .
Έτσι το συμμετρικό του ενός κέντρου ως προς την είναι το κέντρο του άλλου κύκλου.. Φιλικά Γιώργος.
Λίγα λόγια για τη δημιουργία του παρόντος. Αφορμή ήταν το λήμμα που ακολουθεί
(το παρουσιάζει ο αγαπητός Κώστας Βήττας σε παλαιό θέμα , αλλά τώρα δεν μπορώ να το βρώ). Λήμμα:Στο εσωτερικό ισοσκελούς ( με ) τριγώνου θεωρούμε τα σημεία ώστε να ισχύουν και .
Τότε τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έθεσα το στην μεσοκάθετο του για να είναι .
Με σκοπό οι περίκυκλοι των τριγώνων και να είναι ίσοι με ακτίνα.
Οι κύκλοι αυτοί έχουν κοινή χορδή την που είναι μεσοκάθετος της διακέντρου αυτών .
Έτσι το συμμετρικό του ενός κέντρου ως προς την είναι το κέντρο του άλλου κύκλου.. Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες