Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.Το θέμα που ακολουθεί έχει την αφετηρία του σε άκρως ελκυστικό λήμμα που είδα σε παλαιό θέμα .
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις !

: 14-2-19 χαρταετός.PNG (13.93 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

. Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο

που ανήκει στην μεσοκάθετο του

.

Επί της ημιευθείας

προσδιορίζουμε το

ώστε $\widehat{ABZ}=\widehat{BCE}$ .

Αν

το περίκεντρο του τριγώνου ABZ

και

το συμμετρικό του

ως προς τη

τότε

Να εξεταστεί αν το CABH

είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και HB=HC

.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 11:58 pm
Χαιρετώ.Το θέμα που ακολουθεί έχει την αφετηρία του σε άκρως ελκυστικό λήμμα που είδα σε παλαιό θέμα .
Οι γνώστες του λήμματος παρακαλούνται να καθυστερήσουν (για 2 ή 3 μέρες) σχετική παραπομπή με την προσδοκία να δούμε -και να χαρούμε-νέες λύσεις !
14-2-19 χαρταετός.PNG
Το τρίγωνο έχει . Στο εσωτερικό του θεωρούμε σημείο που ανήκει στην μεσοκάθετο του .

Επί της ημιευθείας προσδιορίζουμε το ώστε $\widehat{ABZ}=\widehat{BCE}$ .

Αν το περίκεντρο του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς τη τότε

Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ αν είναι και .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γεια σου Γιώργο.

Μία λύση με μπόλικη Τριγωνομετρία!

Έστω, $\angle ZBC=s, \angle EAC=k, \angle ABE=\angle BAE=\phi, \angle BCZ=x$ .

Είναι, KB=KZ

, και το

είναι συμμετρικό του

ως προς την

, οπότε

.

Αν δείξω ότι το $\angle BHZ=2\angle ZCB$ τότε θα είχα ότι το

είναι το περίκεντρο του $\vartriangle BHC$ , οπότε HB=HC

.

Για να δείξω ότι $\angle BHZ=2\angle ZCB$ αρκεί να δείξω ότι $\angle BAZ=\angle BCZ$ (αφού είναι $2\angle BAZ=\angle BKZ=\angle BHZ$ ).

Αρκεί δηλαδή $\phi=x$ .

i) Στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με σεβιανές τις AE,BE,CE

η τριγωνομετρική μορφή του Ceva δίνει (μετά από απλοποιήσεις) $\sin (\omega+s-\phi) \cdot \sin s=\sin k \cdot \sin \omega$ (1).

ii) Στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με σεβιανές τις AZ,BZ,CZ

πάλι το trig Ceva δίνει $\sin \phi \cdot \sin(\omega+s-x) \cdot \sin s=\sin k \cdot \sin x \cdot \sin \omega$ (2).

Συνδυάζοντας τις (1), (2) προκύπτει $\dfrac{\sin(\omega+s-\phi)}{\sin \phi}=\dfrac{\sin(\omega+s-x)}{\sin x}$ .

Θεωρώ την συνάρτηση $f(t)=\dfrac{\sin(\omega+s-t)}{\sin t}$ .

Αυτή, εύκολα προκύπτει πως είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε αφού έχουμε $f(\phi)=f(x)$ , θα είναι και $\phi=x$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα σε όλους. Σ' ευχαριστώ Ορέστη για την ευέλικτη αντιμετώπιση του θέματος!
Λίγα λόγια για τη δημιουργία του παρόντος. Αφορμή ήταν το λήμμα που ακολουθεί
(το παρουσιάζει ο αγαπητός Κώστας Βήττας σε παλαιό θέμα , αλλά τώρα δεν μπορώ να το βρώ).

: Λήμμα Κ.Β.PNG (9.79 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

Λήμμα:Στο εσωτερικό ισοσκελούς ( με AB=AC

) τριγώνου ABC

θεωρούμε τα σημεία E,Z

ώστε να ισχύουν $A\widehat{B}E=B\widehat{C}Z$ και $A\widehat{C}E=C\widehat{B}Z$ .
Τότε τα σημεία A,E,Z

είναι συνευθειακά.

Έθεσα το

στην μεσοκάθετο του

για να είναι $\widehat{BAE}=\theta =\widehat{BCZ}$ .
Με σκοπό οι περίκυκλοι των τριγώνων ABZ

και

να είναι ίσοι με ακτίνα $R=\dfrac{BZ}{2\eta \mu \theta }$ .

Οι κύκλοι αυτοί έχουν κοινή χορδή την

που είναι μεσοκάθετος της διακέντρου αυτών .
Έτσι το συμμετρικό του ενός κέντρου ως προς την

είναι το κέντρο του άλλου κύκλου.. Φιλικά Γιώργος.

Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

Re: Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

Re: Χαρταετός λόγω ίσων γωνιών

Μέλη σε σύνδεση