Η ανακάλυψη του διμήνου

KARKAR · #1

: Η ανακάλυψη του διμήνου.png (18.81 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Α) Να βρεθεί η μικρότερη θετική γωνία $\theta$ , για την οποία είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ .

Β) Από σημείο

της ακτίνας

, κύκλου διαμέτρου

, διέρχεται χορδή

κάθετη

στη διάμετρο . Στην προέκταση της διαμέτρου θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Φέρουμε κάθετη στο

προς την

την οποία η

, τέμνει στο

.

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο CDPQ

, του οποίου την πλευρά

, η

τέμνει στο

.

Β1) Αν τα σημεία D,B,Q

είναι συνευθειακά , δείξτε ότι : $AS \perp SQ$

Β2) Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{CAS}$ , είναι η $\theta$ του ερωτήματος

Β3) Δείξτε ότι : $\dfrac{OB}{OM}=\phi$ ...

Υπάρχει ένα "θεματάκι" : Τα παραπάνω είναι ( προς το παρόν ) ... εικασίες

#2

a) Αν $\cos \theta = \tan \theta \Rightarrow {\sin ^2}\theta + \sin \theta - 1 = 0$ και αφού $0^\circ < \theta < 180^\circ$ , θα είναι

$\boxed{\sin \theta = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{\varphi }}$

(Μεγάλο κυνήγι γωνιών)

$\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ ( το QCDP

είναι παραλληλόγραμμο) , $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _3}}\,\,\,$ (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων $CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QP$ με τέμνουσα την

)

$\widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _4}}$ ( το $\vartriangle ADC$ είναι ισοσκελές). Άρα $\boxed{\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _4}}}$ .Αν τώρα οι $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DP$ τέμνονται στο

το τετράπλευρο ADHC

είναι ρόμβος .

: η ανακάλυψη του διμήνου.png (57.37 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Επίσης: επειδή $OB = MT \Rightarrow \boxed{BT = TH}$ και έτσι , $\boxed{\widehat {{\omega _4}} = \widehat {{\omega _5}} = \widehat {{\omega _6}} = \widehat {{\omega _7}} = \widehat {{\omega _8}}}$ .

Και αφού $\widehat {{\xi _1}} = \widehat {{\xi _2}}$ το τετράπλευρο CSHQ

είναι ορθογώνιο οπότε:

QS = CH = AD

με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο DSQA

, είναι ισοσκελές τραπέζιο , άρα εγγράψιμο σε κύκλο . Αλλά και το ADTQ

είναι εγγράψιμο

Γιατί τα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ βλέπουν την

υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες .

Αφού λοιπόν τα σημεία : A,D,S,T,Q

ανήκουν σε ένα κύκλο θα είναι $\widehat {ASQ} = \widehat {ATQ} = 90^\circ$

$\tan \widehat {SAQ} = \dfrac{{SQ}}{{AS}} = \dfrac{{AD}}{{AS}} = \dfrac{{AC}}{{AS}} = \cos \widehat {SAQ}$ άρα $\boxed{\widehat {SAQ} = \theta }$

Το τελευταίο θα το δώ ξεχωριστά

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 13, 2019 8:20 pm
Η ανακάλυψη του διμήνου.pngΑ) Να βρεθεί η μικρότερη θετική γωνία $\theta$ , για την οποία είναι : $\cos\theta=\tan\theta$ .

Β) Από σημείο της ακτίνας , κύκλου διαμέτρου , διέρχεται χορδή κάθετη

στη διάμετρο . Στην προέκταση της διαμέτρου θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Φέρουμε κάθετη στο προς την την οποία η , τέμνει στο .

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο , του οποίου την πλευρά , η τέμνει στο .

Β1) Αν τα σημεία είναι συνευθειακά , δείξτε ότι : $AS \perp SQ$

Β2) Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{CAS}$ , είναι η $\theta$ του ερωτήματος

Β3) Δείξτε ότι : $\dfrac{OB}{OM}=\phi$ ...
Υπάρχει ένα "θεματάκι" : Τα παραπάνω είναι ( προς το παρόν ) ... εικασίες

Έλυσα πρώτα το Β3) και μετά τα υπόλοιπα. Ας δούμε λοιπόν το Β3.

: Το δίμηνο του KARKAR.png (23.39 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

$\displaystyle CS \bot PD,$ η

είναι διάμεσος του CMD,

οπότε $\displaystyle SM = MD = MC \Leftrightarrow M\widehat SC = M\widehat CS$

$\displaystyle DS//CQ \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{BQ}} = \frac{{BS}}{{BC}}.$ Αλλά το ADTQ

είναι εγγράψιμο και $\displaystyle BD \cdot BQ = AB \cdot BT$ και με

πολλαπλασιασμό κατά μέλη, $\displaystyle B{D^2} = AB \cdot BT \cdot \frac{{BS}}{{BC}} \Leftrightarrow AB \cdot BM = AB \cdot BT \cdot \frac{{BS}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{BT}} = \frac{{BS}}{{BC}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle MS//CT \Leftrightarrow M\widehat SC = S\widehat CT = \varphi ,$ άρα η

είναι διχοτόμος της $M\widehat CT$ και τα A, B

είναι συζυγή αρμονικά των M, T.

$\displaystyle \frac{{AM}}{{AT}} = \frac{{BM}}{{BT}} \Leftrightarrow \frac{{R + OM}}{{2R + OM}} = \frac{{R - OM}}{{OM}} \Leftrightarrow {R^2} - R \cdot OM - O{M^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{R}{{OM}} = \Phi }$

Τα υπόλοιπα ερωτήματα που βασίζονται σε αυτό θα τα γράψω σε άλλα ανάρτηση.

#4

και το τελευταίο

$\widehat {{\xi _1}} + \widehat {{\omega _8}} = 90^\circ$ αλλά $\widehat {{\omega _8}} = \widehat {{\omega _5}} = \widehat {{\omega _9}}$ και $\widehat {{\xi _1}} = \widehat {{\xi _3}} = \widehat {{\xi _4}} = \widehat {{\xi _5}}$ οπότε : $\boxed{\widehat {{\xi _5}} + \widehat {{\omega _9}} = 90^\circ }$

: Ανακάληψη διμήνου _τελος.png (60.62 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Από το ορθογώνιο τρίγωνο COT

έχω $O{C^2} = OM \cdot OT \Rightarrow O{A^2} = OM \cdot AM$

Δηλαδή το

χωρίζει το

σε μέσο κι άκρο λόγο .

Αλλά η τετράδα $(M,T\backslash A,B)$ είναι αρμονική και αφού OM = BT

τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ χωρίζουν τα $MT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ σε μέσο κι άκρο λόγο.

#5

Κρατάω από την προηγούμενη ανάρτηση $\boxed{R=OM\cdot \Phi}$

: Το δίμηνο του KARKAR.png (23.39 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

B1) $\displaystyle CM \cdot CD = CB \cdot CS \Leftrightarrow 2C{M^2} = \sqrt {2RMB} \cdot CS \Leftrightarrow 2AM \cdot MB = \sqrt {2RMB} \cdot CS \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2(R + OM)(R - OM) = CS\sqrt {2R(R - OM)} \Leftrightarrow 2O{M^2}({\Phi ^2} - 1) = CS \cdot OM\sqrt 2 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2OM \cdot \Phi = CS\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{C{S^2} = 2O{M^2}{\Phi ^2}}$ Αλλά, $\displaystyle A{C^2} = 2R \cdot AM = 2R(R + OM) \Leftrightarrow$

$\boxed{A{C^2} = 2O{M^2}({\Phi ^2} + \Phi )}$ και $\displaystyle A{S^2} = A{C^2} + C{S^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{A{S^2} = 2O{M^2}(2{\Phi ^2} + \Phi )}$

$\displaystyle AC \cdot AQ = AB \cdot AT = 2R(2R + OM) = 2O{M^2}(2{\Phi ^2} + \Phi ) = A{S^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{A\widehat SQ=90^\circ}$

B2) Από τα προηγούμενα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle \frac{{SC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AS}} \Leftrightarrow \tan \theta = \cos \theta$ που ικανοποιεί το Α) ερώτημα.

(Σε απλουστευμένη μορφή είναι, $\displaystyle AC = OM \cdot \Phi \sqrt {2\Phi } ,AS = OM \cdot {\Phi ^2}\sqrt 2 ,CS = OM \cdot \Phi \sqrt 2$ )

Η ανακάλυψη του διμήνου

Η ανακάλυψη του διμήνου

Re: Η ανακάλυψη του διμήνου

Re: Η ανακάλυψη του διμήνου

Re: Η ανακάλυψη του διμήνου

Re: Η ανακάλυψη του διμήνου

Μέλη σε σύνδεση