mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 15, 2018 8:52 pm**

: 2.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Δίνεται το τεταρτοκύκλιο

, τόξου

και το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ACDO

.

Αν το

είναι σημείο επαφής και $S_{1}=S_{2}$ , να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας $\theta$

(όπου $S_{1},S_{2}$ τα εμβαδά των μεικτόγραμμων χωρίων ACN, NBD

αντίστοιχα).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 15, 2018 9:28 pm**

Καλησπέρα σε όλους.

: 15-12-2018 Γεωμετρία.jpg (27.78 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Έστω

η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Έστω OD=x

.

$\displaystyle {S_1} = {S_2} \Leftrightarrow \left( {ACDO} \right) = {E_{\tau \varepsilon \tau \alpha \rho \tau .}} \Leftrightarrow Rx = \frac{{\pi {R^2}}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{\pi R}}{4}$ .

Έστω $\displaystyle \widehat {OCA} = \widehat {OCT} = \varphi$ , οπότε $\displaystyle \widehat {OCD} = \varphi - \theta$

Τότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{{\rm A}{\rm O}}}{{{\rm A}C}} = \frac{4}{\pi },\;\;\varepsilon \varphi \left( {\varphi - \theta } \right) = \frac{{{\rm O}D}}{{DC}} = \frac{\pi }{4}$ ,

οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {\varphi - \theta } \right) = \frac{{\varepsilon \varphi \varphi - \varepsilon \varphi \theta }}{{1 + \varepsilon \varphi \varphi \cdot \varepsilon \varphi \theta }} \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} = \frac{{\frac{4}{\pi } - \varepsilon \varphi \theta }}{{1 + \frac{4}{\pi }\varepsilon \varphi \theta }}$ ,

άρα $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{16 - {\pi ^2}}}{{8\pi }}$ .

Και μια προέκταση που ίσως να δώσει νέες ιδέες.

: 15-12-2018 Γεωμετρία β.jpg (28.34 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \theta + 2\omega = 90^\circ$ . Επίσης είναι $\displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm O}{\rm T}} = 2\omega$ , ως επίκεντρη που βαίνει στο τόξο

, άρα είναι διπλάσια της υπό χορδής κι εφαπτομένης.

Οπότε $\displaystyle \widehat {{\rm T}{\rm O}{\rm B}} = \theta$ .

mathematica.gr

Και λίγη τριγωνομετρία-19

Και λίγη τριγωνομετρία-19

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-19