Συνευθειακά και τα τέσσερα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Η σύνθεση που ακολουθεί έχει τα ερείσματά της.

: Συνευθειακά και τα τέσσερα.PNG (11.87 KiB) Προβλήθηκε 756 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι $AB=4..AC=6 ..\widehat{A}=\widehat{B}+2\widehat{C}$ και

το έγκεντρον αυτού.

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της

στο

, τέμνει το τμήμα

στο

ενώ η

είναι διάμετρός του.Ακόμη $E \in BC$ ώστε CE=3

.

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Θεωρώ τρίγωνο ABC

με $BA = 4\,\,,AC = 6\,\,,CB = 8$

Γράφω τον εγγεγραμμένο του κύκλο (I,r)

που εφάπτεται στα $Q,\,\,P,\,\,D$ των πιο πάνω πλευρών αντίστοιχα .

Αφού είναι γνωστές οι πλευρές του τριγώνου μπορώ να υπολογίσω όλα τα στοιχεία του τριγώνου . Έτσι βρίσκω $\left\{ \begin{gathered} r = \frac{{\sqrt {15} }}{3} \hfill \\ \cos C = \frac{7}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ καθώς και $\left\{ \begin{gathered} AQ = AP = 1 \hfill \\ BQ = BD = 3 \hfill \\ CD = CP = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Φέρνω τώρα τη διάμετρο $\overline {DIH}$ και την

που τέμνει τον κύκλο στο

και την

στο

. Θα δείξω ότι έχει τις προδιαγαφές του τριγώνου της εκφώνησης .

Επειδή $DB = 3\,\,$ θα είναι ( ως γνωστό) και CE = 3

. Αν

σημείο της

με

θα είναι $\widehat \theta = \widehat B + \widehat \phi$ ως εξωτερική στο $\vartriangle AZB$ , αλλά και $\widehat A = \widehat \theta + \widehat \phi$

γιατί στο ισοσκελές τρίγωνο CAZ

οι προσκείμενες γωνίες της βάσης του είναι ίσες , οπότε : με απαλοιφή της $\widehat \theta$ έχω $\widehat A - \widehat B = 2\widehat \phi$ .

: και τα τέσερα στην ίδια ευθεία.png (36.93 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Αλλά μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε τριγωνομετρικά ότι $\widehat A - \widehat B = 2\widehat C$ και άρα $\boxed{\widehat C = \widehat \phi }$

Τώρα τα τρίγωνα $ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZBA$ είναι όμοια και από το λόγο ομοιότητας $\dfrac{{CB}}{{AB}} = 2$ έχω : $\boxed{ZA = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZB = 2}$ , οπότε και το τρίγωνο ZAE

είναι ισοσκελές .

Ας είναι τώρα

η χορδή που η

τέμνει τον κύκλο . Επειδή $\left\{ \begin{gathered} {1^2} = A{Q^2} = AL \cdot AK = AL(AL + LK) \hfill \\ {1^2} = D{Z^2} = ZK \cdot ZL = ZK(ZK + KL) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ θα έχω : $(AL - ZK)AZ = 0 \Rightarrow \boxed{AL = ZK}$

Τα ευθύγραμμα τμήματα $AZ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL$ έχουν κοινό μέσο

.

Αρκεί τώρα να δείξω ότι τα σημεία $C\,\,,\,\,T\,\,,\,\,I\,\,,\,M$ ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Προφανώς :

1. Η

μεσοκάθετός στο

2. Η

μεσοκάθετός στα $KL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AZ$

3. Υπολογίζω ( * )

τα $AT = 2\sqrt 6 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,TE = \sqrt 6$ και άρα $\boxed{\dfrac{{CA}}{{CE}} = \dfrac{{TA}}{{TE}}}$

δηλαδή η

φορέας της διχοτόμου της γωνίας $\widehat C$ οπότε η

μεσοκάθετος στο

.

Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ACZ$ : $\cos \theta = \dfrac{1}{4}$ . Ομοίως στο $\vartriangle ACE$ : $AE = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}$

Π. Θ. στο $\vartriangle DEH$ : $EH = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}$ . $E{D^2} = ET \cdot EH \Rightarrow 4 = ET\dfrac{{4\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \boxed{ET = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}}$

Άρα $AT = AE - ET = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \boxed{AT = \sqrt 6 }$

Altrian · #3

Καλησπέρα Γιώργο,

Εστω σημείο

στην

με

και

. Με δεδομένο ότι: $\angle A=\angle B+2\angle C$ έχουμε:
$\angle CAF=90-\frac{\angle C}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{\angle B+2\angle C+\angle B}{2}=\angle B+\angle C=\angle A-\angle C$ δηλ. $\angle FAB=\angle C$ .
Από τα όμοια τρίγωνα $\triangle AFB,.\triangle ABC$ έχω: $\frac{AB}{FB}=\frac{CB}{AB}\Leftrightarrow \frac{4}{4-2x}=\frac{10-2x}{4}\Rightarrow x^{2}-7x+6=0$ , με αποδεκτή ρίζα x=1

.
Εχουμε τότε ότι CE=DB=3

και ως γνωστό (πλέον) τα A,H,E

είναι συνευθειακά με την συγκεκριμένη ευθεία να τέμνει τον έγκυκλο στο

. Αρκεί να δείξουμε επομένως ότι: $\angle ITD=\angle TDC+\frac{\angle C}{2}.$ .
Πράγματι: $\angle ITD=\angle IDT=\angle HIT/2=\frac{\angle C+\angle PIT}{2}=\frac{\angle C}{2}+\angle PDT=\frac{\angle C}{2}+\angle TPD=\frac{\angle C}{2}+\angle TDC$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ. Ευχαριστώ τους Νίκο και Αλέξανδρο για τον κόπο και χρόνο που διέθεσαν και βεβαίως για τις ωραίες λύσεις τους !

Νίκο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και πάντοτε με υγεία ! ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και στον Νίκο , αδελφό του Αλέξανδρου!

Σύντομη περιγραφή μιας ακόμη προσέγγισης του θέματος.
Η σχέση $\widehat{A}=\widehat{B}+2\widehat{C}$ ισοδυναμεί με την $\widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2\Leftrightarrow a^{2}=ab+c^{2}$ . Για c=4...b=6

παίρνουμε

Ακόμη είναι CE=3=BD

και συνεπώς όπως είδαμε ΕΔΩ (αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος) τα A,H,E

είναι συνευθειακά.

Τέλος μπορούμε να υπολογίσουμε τα μήκη των AT,TE,AE

, βρίσκουμε AE=AT+TE

που σημαίνει ότι και το

ανήκει στην ευθεία των A,H,E

.
Φιλικά Γιώργος.

Συνευθειακά και τα τέσσερα

Συνευθειακά και τα τέσσερα

Re: Συνευθειακά και τα τέσσερα

Re: Συνευθειακά και τα τέσσερα

Re: Συνευθειακά και τα τέσσερα

Μέλη σε σύνδεση