Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7821
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 20, 2018 11:57 am

Ισοσκελές ή όχι...png
Ισοσκελές ή όχι...png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές
Σε τρίγωνο ABC είναι AB=4, AC=7, ενώ η BC μεταβάλλεται. Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της BC

στο D και έστω E το αντιδιαμετρικό του D. Η AE τέμνει τη BC στο Z. Μπορεί το τρίγωνο DEZ να είναι ισοσκελές;

(Με άλλα λόγια: Μπορεί να είναι x=45^\circ;)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1714
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:52 pm

.

Είναι (γνωστό)  BD=CZ=s-b, με s την ημιπερίμετρο. Αν r είναι η ακτίνα του έγκυκλου και S το εμβαδόν του τριγώνου, τότε:

2r = DE= DZ=a-2(s-b)=b-c=3

Πρέπει b-c<a<b+c, δηλαδή 3<a<11. O τύπος  S=sr δίνει

\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=sr\Leftrightarrow \sqrt{(11+a)(11-a)(a+3)(a-3)}=3(11+a)

Aπλοποιώντας:

\sqrt{(11-a)(a+3)(a-3)}=3\sqrt{11+a}) και τελικά:

a^3-11a^2+198=0

Η μελέτη της εξίσωσης δείχνει (απλό) ότι δεν έχει ρίζα a με b-c<a<b+c, (έχει μία αρνητική ρίζα και για α>0 έχει θετικό ελάχιστο) κ.λπ. :P


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 972
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Νοέμ 27, 2018 1:44 am

Καλημέρα ! Αφού ο Κώστας ανοίγει δρόμους... με χρήση του σχήματος
Όχι ισοσκελές..GV.PNG
Όχι ισοσκελές..GV.PNG (10.16 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές
Με ZC=BD=y και την παραδοχή DZ=DE=2\rho βρίσκουμε όπως ο Κώστας πριν \rho =3/2

Ισχύει  {\color{blue} xyz =\rho^{2} (x+y+z)}  ...(1) (Απόδειξη αυτής , για κάθε τρίγωνο, στο θέμα ΕΔΩ )

Με αντικατάσταση των x=4-y ..z=7-x=y+3 και \rho^{2} =9/4 η (1) γίνεται \left ( 4-y \right )y\left ( y+3 \right )=9\left ( y+7 \right )/4

 \Leftrightarrow ..\Leftrightarrow 4y^{3}-4y^{2}-39y+63=0 ..(2).Για y > 0 η f\left ( y \right )= 4y^{3}-4y^{2}-39y+63 έχει ελάχιστο το f\left ( 13/6 \right )=11/27> 0

συνεπώς η (2) είναι αδύνατη για 0< y<4. Άρα το DEZ δεν μπορεί να γίνει ισοσκελές.

Όμως (σε κάποιους από μας ) παραμένει ως εκκρεμότητα: Πώς αποδεικνύεται η σχέση CZ=BD ;
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6336
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 1:44 am
Καλημέρα ! Αφού ο Κώστας ανοίγει δρόμους... με χρήση του σχήματος
Όχι ισοσκελές..GV.PNG
Με ZC=BD=y και την παραδοχή DZ=DE=2\rho βρίσκουμε όπως ο Κώστας πριν \rho =3/2

Ισχύει  {\color{blue} xyz =\rho^{2} (x+y+z)}  ...(1) (Απόδειξη αυτής , για κάθε τρίγωνο, στο θέμα ΕΔΩ )

Με αντικατάσταση των x=4-y ..z=7-x=y+3 και \rho^{2} =9/4 η (1) γίνεται \left ( 4-y \right )y\left ( y+3 \right )=9\left ( y+7 \right )/4

 \Leftrightarrow ..\Leftrightarrow 4y^{3}-4y^{2}-39y+63=0 ..(2).Για y > 0 η f\left ( y \right )= 4y^{3}-4y^{2}-39y+63 έχει ελάχιστο το f\left ( 13/6 \right )=11/27> 0

συνεπώς η (2) είναι αδύνατη για 0< y<4. Άρα το DEZ δεν μπορεί να γίνει ισοσκελές.

Όμως (σε κάποιους από μας ) παραμένει ως εκκρεμότητα: Πώς αποδεικνύεται η σχέση CZ=BD ;
Φιλικά Γιώργος.
Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7821
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 27, 2018 9:48 am

Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 1:44 am

...Όμως (σε κάποιους από μας ) παραμένει ως εκκρεμότητα: Πώς αποδεικνύεται η σχέση CZ=BD ;
Φιλικά Γιώργος.
Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος
Καλημέρα σε όλους!

Δεν έχω υπόψη μου την απόδειξη που λέει ο Νίκος, αλλά πιθανόν να είναι η ίδια με αυτή που θα γράψω.
Ισοσκελές ή όχι.b..png
Ισοσκελές ή όχι.b..png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Τα σημεία D, Z και H, F είναι σημεία επαφής του εγγεγραμμένου και A-παρεγγεγραμμένου κύκλου με τις BC και AC αντίστοιχα

και E το σημείο τομής της AZ με τον εγγεγραμμένο κύκλο. Είναι, \displaystyle \frac{{AI}}{{A{I_a}}} = \frac{{IH}}{{{I_a}F}} = \frac{r}{{{r_a}}} = \frac{{IE}}{{{I_a}Z}} \Rightarrow IE \bot BC

Άρα E είναι το αντιδιαμετρικό του D και BD=ZC=s-b.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1714
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Νοέμ 27, 2018 10:34 am

Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am


Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος
Ο Μπάμπης την έχει με ομοιοθεσία;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6336
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 27, 2018 10:58 am

rek2 έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:34 am
Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am


Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος
Ο Μπάμπης την έχει με ομοιοθεσία;
Και με ομοιοθεσία ( έχει δύο αποδείξεις)
Νομίζω ότι υπάρχει και στο Βιβλίο των Τσίντσιφα , Μπαλλή, Ζουρνά


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1714
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Νοέμ 27, 2018 11:08 am

Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:58 am
rek2 έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:34 am
Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am


Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος
Ο Μπάμπης την έχει με ομοιοθεσία;
Και με ομοιοθεσία ( έχει δύο αποδείξεις)
Νομίζω ότι υπάρχει και στο Βιβλίο των Τσίντσιφα , Μπαλλή, Ζουρνά
Ποιά είναι η ιδέα στην άλλη; :-)


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1714
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Νοέμ 27, 2018 4:31 pm

Μία απόδειξη της ισότητας ZC=p-b:

Η εφαπτομένη του έγκυκλου στο E τέμνει τις AB,\,\,AC στα B',\,\,C' αντιστοίχως. Τα τρίγωνα ABC,\,\,AB'C' είναι όμοια και τα τμήματα EC',\,\,ZC ομόλογα στοιχεία τους. Στην ομοιότητα οι γραμμικές σχέσεις μεταξύ ομολόγων στοιχείων διατηρούνται, επομένως, αφού στο τρίγωνο AB'C' είναι EC'=p'-b', στο ABC θα έχουμε ZC=p-b

:P


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 972
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Νοέμ 29, 2018 3:07 am

Καλημέρα!. Σας ευχαριστώ όλους για την διαφώτιση του ερωτήματος. Το ''κλειδί'' είναι να δει κανείς
ότι το σημείο Z ουσιαστικά είναι η επαφή του Α-παρεγγεγραμμένου κύκλου με την BC και η συνέχεια γίνεται φανερή..

Θαυμάσια και η ιδέα του Κώστα πριν , για αποκάλυψη λύσης με <<εξοικονόμηση χώρου>>
μετατρέποντας τον έγκυκλο του ABC σε Α-παρεγγεγραμμένο κύκλο μικρότερου αλλά και όμοιου με το ABC τριγώνου!
Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης