Μπορεί να είναι ισοσκελές;

: Ισοσκελές ή όχι...png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Σε τρίγωνο ABC

είναι

ενώ η

μεταβάλλεται. Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της

στο

και έστω

το αντιδιαμετρικό του

Η

τέμνει τη

στο

Μπορεί το τρίγωνο DEZ

να είναι ισοσκελές;

(Με άλλα λόγια: Μπορεί να είναι $x=45^\circ;$ )

.

Είναι (γνωστό) BD=CZ=s-b

, με

την ημιπερίμετρο. Αν

είναι η ακτίνα του έγκυκλου και

το εμβαδόν του τριγώνου, τότε:

2r = DE= DZ=a-2(s-b)=b-c=3

Πρέπει

, δηλαδή

. O τύπος

δίνει

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=sr\Leftrightarrow \sqrt{(11+a)(11-a)(a+3)(a-3)}=3(11+a)$

Aπλοποιώντας:

$\sqrt{(11-a)(a+3)(a-3)}=3\sqrt{11+a})$ και τελικά:

a^3-11a^2+198=0

Η μελέτη της εξίσωσης δείχνει (απλό) ότι δεν έχει ρίζα

με

, (έχει μία αρνητική ρίζα και για α>0 έχει θετικό ελάχιστο) κ.λπ.

Γιώργος Μήτσιος

Καλημέρα ! Αφού ο Κώστας ανοίγει δρόμους... με χρήση του σχήματος

: Όχι ισοσκελές..GV.PNG (10.16 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Με

και την παραδοχή $DZ=DE=2\rho$ βρίσκουμε όπως ο Κώστας πριν $\rho =3/2$

Ισχύει ${\color{blue} xyz =\rho^{2} (x+y+z)} ...(1)$ (Απόδειξη αυτής , για κάθε τρίγωνο, στο θέμα ΕΔΩ )

Με αντικατάσταση των x=4-y ..z=7-x=y+3

και $\rho^{2} =9/4$ η (1)

γίνεται $\left ( 4-y \right )y\left ( y+3 \right )=9\left ( y+7 \right )/4$

$\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow 4y^{3}-4y^{2}-39y+63=0 ..(2)$ .Για y > 0

η $f\left ( y \right )= 4y^{3}-4y^{2}-39y+63$ έχει ελάχιστο το $f\left ( 13/6 \right )=11/27> 0$

συνεπώς η (2)

είναι αδύνατη για 0< y<4

. Άρα το δεν μπορεί να γίνει ισοσκελές.

Όμως (σε κάποιους από μας ) παραμένει ως εκκρεμότητα: Πώς αποδεικνύεται η σχέση ;
Φιλικά Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 1:44 am
Καλημέρα ! Αφού ο Κώστας ανοίγει δρόμους... με χρήση του σχήματος
Όχι ισοσκελές..GV.PNG
Με και την παραδοχή $DZ=DE=2\rho$ βρίσκουμε όπως ο Κώστας πριν $\rho =3/2$

Ισχύει ${\color{blue} xyz =\rho^{2} (x+y+z)} ...(1)$ (Απόδειξη αυτής , για κάθε τρίγωνο, στο θέμα ΕΔΩ )

Με αντικατάσταση των και $\rho^{2} =9/4$ η γίνεται $\left ( 4-y \right )y\left ( y+3 \right )=9\left ( y+7 \right )/4$

$\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow 4y^{3}-4y^{2}-39y+63=0 ..(2)$ .Για η $f\left ( y \right )= 4y^{3}-4y^{2}-39y+63$ έχει ελάχιστο το $f\left ( 13/6 \right )=11/27> 0$

συνεπώς η είναι αδύνατη για . Άρα το δεν μπορεί να γίνει ισοσκελές.

Όμως (σε κάποιους από μας ) παραμένει ως εκκρεμότητα: Πώς αποδεικνύεται η σχέση ;
Φιλικά Γιώργος.

Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 1:44 am

...Όμως (σε κάποιους από μας ) παραμένει ως εκκρεμότητα: Πώς αποδεικνύεται η σχέση ;
Φιλικά Γιώργος.
Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος

Καλημέρα σε όλους!

Δεν έχω υπόψη μου την απόδειξη που λέει ο Νίκος, αλλά πιθανόν να είναι η ίδια με αυτή που θα γράψω.

: Ισοσκελές ή όχι.b..png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Τα σημεία

και

είναι σημεία επαφής του εγγεγραμμένου και

παρεγγεγραμμένου κύκλου με τις

και

αντίστοιχα

και

το σημείο τομής της

με τον εγγεγραμμένο κύκλο. Είναι, $\displaystyle \frac{{AI}}{{A{I_a}}} = \frac{{IH}}{{{I_a}F}} = \frac{r}{{{r_a}}} = \frac{{IE}}{{{I_a}Z}} \Rightarrow IE \bot BC$

Άρα

είναι το αντιδιαμετρικό του

και

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am

Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος

Ο Μπάμπης την έχει με ομοιοθεσία;

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:34 am

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am

Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος

Ο Μπάμπης την έχει με ομοιοθεσία;

Και με ομοιοθεσία ( έχει δύο αποδείξεις)
Νομίζω ότι υπάρχει και στο Βιβλίο των Τσίντσιφα , Μπαλλή, Ζουρνά

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:58 am

rek2 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:34 am

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:07 am

Γεωμετρία για διαγωνισμούς 2-Μπάμπη Στεργίου σελίδα 258

Φιλικά Νίκος

Ο Μπάμπης την έχει με ομοιοθεσία;
Και με ομοιοθεσία ( έχει δύο αποδείξεις)
Νομίζω ότι υπάρχει και στο Βιβλίο των Τσίντσιφα , Μπαλλή, Ζουρνά

Ποιά είναι η ιδέα στην άλλη;

Μία απόδειξη της ισότητας ZC=p-b

:

Η εφαπτομένη του έγκυκλου στο

τέμνει τις $AB,\,\,AC$ στα $B',\,\,C'$ αντιστοίχως. Τα τρίγωνα $ABC,\,\,AB'C'$ είναι όμοια και τα τμήματα $EC',\,\,ZC$ ομόλογα στοιχεία τους. Στην ομοιότητα οι γραμμικές σχέσεις μεταξύ ομολόγων στοιχείων διατηρούνται, επομένως, αφού στο τρίγωνο AB'C'

είναι

, στο

θα έχουμε

Γιώργος Μήτσιος

Καλημέρα!. Σας ευχαριστώ όλους για την διαφώτιση του ερωτήματος. Το ''κλειδί'' είναι να δει κανείς
ότι το σημείο

ουσιαστικά είναι η επαφή του Α-παρεγγεγραμμένου κύκλου με την

και η συνέχεια γίνεται φανερή..

Θαυμάσια και η ιδέα του Κώστα πριν , για αποκάλυψη λύσης με <<εξοικονόμηση χώρου>>
μετατρέποντας τον έγκυκλο του ABC

σε Α-παρεγγεγραμμένο κύκλο μικρότερου αλλά και όμοιου με το ABC

τριγώνου!
Φιλικά Γιώργος.

Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Re: Μπορεί να είναι ισοσκελές;

Μέλη σε σύνδεση